ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 7 - 7.40

1) При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся прежним, а показатели складываются: $$ 2 \cdot 2^2 \cdot 2^3 \cdot \ldots \cdot 2^{31} = 2^{1 + 2 + 3 + \ldots + 31} $$ Показатель степени представляет собой сумму первых 31 натуральных чисел. Вычислим её по формуле суммы первых $k$ натуральных чисел $S = \frac{k(k + 1)}{2}$: $$ 1 + 2 + 3 + \ldots + 31 = \frac{31 \cdot (31 + 1)}{2} = \frac{31 \cdot 32}{2} = 31 \cdot 16 = 496 $$ Следовательно: $$ 2^{1 + 2 + 3 + \ldots + 31} = 2^{496} $$ Ответ: $2^{496}$. 2) По свойству умножения степеней с одинаковыми основаниями: $$ 5 \cdot 5^2 \cdot 5^3 \cdot \ldots \cdot 5^{33} = 5^{1 + 2 + 3 + \ldots + 33} $$ Вычислим сумму показателей в степени: $$ 1 + 2 + 3 + \ldots + 33 = \frac{33 \cdot (33 + 1)}{2} = \frac{33 \cdot 34}{2} = 33 \cdot 17 = 561 $$ Следовательно: $$ 5^{1 + 2 + 3 + \ldots + 33} = 5^{561} $$ Ответ: $5^{561}$. 3) Применяя свойство умножения степеней, складываем показатели: $$ 7^2 \cdot 7^4 \cdot 7^6 \cdot \ldots \cdot 7^{2n} = 7^{2 + 4 + 6 + \ldots + 2n} $$ Вынесем общий множитель 2 за скобки в сумме показателей: $$ 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n = 2 \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + n) $$ Используя формулу суммы первых $n$ натуральных чисел $1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n(n + 1)}{2}$, получаем: $$ 2 \cdot \frac{n(n + 1)}{2} = n(n + 1) = n^2 + n $$ Следовательно: $$ 7^{2 + 4 + 6 + \ldots + 2n} = 7^{n(n+1)} \quad \text{или} \quad 7^{n^2+n} $$ Ответ: $7^{n(n+1)}$ (или $7^{n^2+n}$).