ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 7 - 7.37

1) Упростим выражение: $$ \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} + \frac{(x-c)(x-a)}{(b-c)(b-a)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(c-a)(c-b)} $$ Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a-c)(b-c)$. Для этого изменим знаки в некоторых скобках знаменателей, учитывая, что $(b-a) = -(a-b)$, $(c-a) = -(a-c)$ и $(c-b) = -(b-c)$: - знаменатель второй дроби: $(b-c)(b-a) = -(a-b)(b-c)$; - знаменатель третьей дроби: $(c-a)(c-b) = (-(a-c)) \cdot (-(b-c)) = (a-c)(b-c)$. Перепишем выражение: $$ \frac{(x-b)(x-c)}{(a-b)(a-c)} - \frac{(x-c)(x-a)}{(a-b)(b-c)} + \frac{(x-a)(x-b)}{(a-c)(b-c)} $$ Дополнительные множители для дробей: - для первой: $(b-c)$; - для второй: $(a-c)$; - для третьей: $(a-b)$. Запишем под общей чертой: $$ \frac{(x-b)(x-c)(b-c) - (x-c)(x-a)(a-c) + (x-a)(x-b)(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} $$ Раскроем скобки с переменной $x$ в числителе: $$ (x^2 - (b+c)x + bc)(b-c) - (x^2 - (a+c)x + ac)(a-c) + (x^2 - (a+b)x + ab)(a-b) $$ Сгруппируем слагаемые по степеням $x$: 1. При $x^2$: $$ (b-c) - (a-c) + (a-b) = b - c - a + c + a - b = 0 $$ 2. При $x$: $$ -(b+c)(b-c) + (a+c)(a-c) - (a+b)(a-b) = -(b^2 - c^2) + (a^2 - c^2) - (a^2 - b^2) $$ $$ = -b^2 + c^2 + a^2 - c^2 - a^2 + b^2 = 0 $$ 3. Свободный член (без $x$): $$ bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b) = b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2 $$ Разложим свободный член на множители способом группировки: $$ (a^2b - ab^2) - (a^2c - ac^2) + (b^2c - bc^2) = ab(a-b) - c(a^2 - b^2) + c^2(a-b) $$ $$ = (a-b)(ab - c(a+b) + c^2) = (a-b)(ab - ac - bc + c^2) $$ $$ = (a-b)(a(b-c) - c(b-c)) = (a-b)(a-c)(b-c) $$ Таким образом, числитель равен $(a-b)(a-c)(b-c)$. Подставим его в дробь: $$ \frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1 $$ Ответ: $1$ --- 2) Упростим многоэтажную дробь снизу вверх: $$ 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{3 + \frac{1}{y}}} $$ 1. Выполним сложение в самом нижнем знаменателе: $$ 3 + \frac{1}{y} = \frac{3y + 1}{y} $$ 2. Найдем обратную дробь: $$ \frac{1}{3 + \frac{1}{y}} = \frac{1}{\frac{3y + 1}{y}} = \frac{y}{3y + 1} $$ 3. Выполним сложение со следующим слагаемым: $$ 2 + \frac{y}{3y + 1} = \frac{2(3y + 1) + y}{3y + 1} = \frac{6y + 2 + y}{3y + 1} = \frac{7y + 2}{3y + 1} $$ 4. Найдем обратную дробь от полученного выражения: $$ \frac{1}{\frac{7y + 2}{3y + 1}} = \frac{3y + 1}{7y + 2} $$ 5. Выполним последнее сложение: $$ 1 + \frac{3y + 1}{7y + 2} = \frac{7y + 2 + 3y + 1}{7y + 2} = \frac{10y + 3}{7y + 2} $$ Ответ: $\frac{10y + 3}{7y + 2}$ --- 3) Упростим выражение снизу вверх: $$ \frac{1}{a - \frac{1}{a - \frac{a}{1 - a}}} $$ 1. Выполним вычитание в самом нижнем знаменателе: $$ a - \frac{a}{1 - a} = \frac{a(1 - a) - a}{1 - a} = \frac{a - a^2 - a}{1 - a} = \frac{-a^2}{1 - a} $$ 2. Преобразуем вычитание в следующем знаменателе: $$ a - \frac{1}{\frac{-a^2}{1 - a}} = a - \left(-\frac{1 - a}{a^2}\right) = a + \frac{1 - a}{a^2} = \frac{a \cdot a^2 + 1 - a}{a^2} = \frac{a^3 - a + 1}{a^2} $$ 3. Выполним деление единицы на полученную дробь: $$ \frac{1}{\frac{a^3 - a + 1}{a^2}} = \frac{a^2}{a^3 - a + 1} $$ Ответ: $\frac{a^2}{a^3 - a + 1}$