ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 7 - 7.28

Чтобы значение дроби $\frac{9^{2n} + 14}{5}$ при любом натуральном $n$ являлось натуральным числом, необходимо доказать, что числитель $9^{2n} + 14$ положителен и делится нацело на $5$. 1. Преобразуем степень в числителе, используя свойство степени с натуральным показателем $(a^m)^k = a^{mk}$: $$ 9^{2n} = (9^2)^n = 81^n $$ 2. Определим последнюю цифру числа $81^n$: Число $81$ оканчивается цифрой $1$. При умножении чисел, оканчивающихся на $1$, последняя цифра произведения всегда равна $1$. Следовательно, при любом натуральном $n$ число $81^n$ оканчивается цифрой $1$. 3. Определим последнюю цифру всего числителя $81^n + 14$: Так как число $81^n$ оканчивается цифрой $1$, а число $14$ оканчивается цифрой $4$, то их сумма оканчивается на: $$ 1 + 4 = 5 $$ 4. По признаку делимости на $5$, если натуральное число оканчивается цифрой $5$, то оно делится нацело на $5$. Значит, числитель $9^{2n} + 14$ делится нацело на $5$. Так как $n$ — натуральное число, числитель строго положителен ($9^{2n} + 14 > 0$), а следовательно, частное от деления на $5$ является натуральным числом. Что и требовалось доказать.