ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 7 - 7.27

1) Вычислим значение выражения: $$ \frac{5^4 + 5 \cdot 3^6}{5^3 + 5^2 \cdot 3^2} $$ В числителе вынесем за скобки общий множитель $5$, а в знаменателе — $5^2$: $$ \frac{5 \cdot (5^3 + 3^6)}{5^2 \cdot (5 + 3^2)} $$ Сократим дробь на $5$: $$ \frac{5^3 + 3^6}{5 \cdot (5 + 3^2)} $$ Вычислим значения выражений в скобках: * $5^3 = 125$; * $3^6 = 729$; * $5^3 + 3^6 = 125 + 729 = 854$; * $5 + 3^2 = 5 + 9 = 14$. Подставим полученные значения: $$ \frac{854}{5 \cdot 14} = \frac{854}{70} $$ Разделим числитель и знаменатель на $14$ (так как $854 : 14 = 61$): $$ \frac{61}{5} = 12,2 $$ 2) Вычислим значение выражения: $$ \frac{6^6 \cdot 2^3 - 3^6}{6^6 + 3^3 \cdot 6^3 + 3^6} $$ Представим число $6$ в виде произведения простых множителей: $6 = 2 \cdot 3$. Тогда по свойствам степеней: * $6^6 = (2 \cdot 3)^6 = 2^6 \cdot 3^6$; * $6^3 = (2 \cdot 3)^3 = 2^3 \cdot 3^3$. Подставим эти степени в дробь: $$ \frac{(2^6 \cdot 3^6) \cdot 2^3 - 3^6}{2^6 \cdot 3^6 + 3^3 \cdot (2^3 \cdot 3^3) + 3^6} = \frac{2^9 \cdot 3^6 - 3^6}{2^6 \cdot 3^6 + 2^3 \cdot 3^6 + 3^6} $$ Вынесем общий множитель $3^6$ в числителе и знаменателе: $$ \frac{3^6 \cdot (2^9 - 1)}{3^6 \cdot (2^6 + 2^3 + 1)} $$ Сократим дробь на $3^6$: $$ \frac{2^9 - 1}{2^6 + 2^3 + 1} $$ Заметим, что $2^9 = (2^3)^3$. Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ при $a = 2^3$ и $b = 1$: $$ (2^3)^3 - 1^3 = (2^3 - 1)((2^3)^2 + 2^3 \cdot 1 + 1^2) = (2^3 - 1)(2^6 + 2^3 + 1) $$ Подставим это разложение в дробь: $$ \frac{(2^3 - 1)(2^6 + 2^3 + 1)}{2^6 + 2^3 + 1} = 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7 $$ 3) Вычислим значение выражения: $$ \frac{(-27)^{-15} \cdot (-9)^{20}}{(-3)^{-7}} $$ Определим знаки множителей и представим основания через степени числа $3$: * степень с нечетным показателем сохраняет знак минус: $(-27)^{-15} = -(27^{-15}) = -((3^3)^{-15}) = -3^{-45}$; * четная степень отрицательного числа положительна: $(-9)^{20} = 9^{20} = (3^2)^{20} = 3^{40}$; * числитель: $(-27)^{-15} \cdot (-9)^{20} = -3^{-45} \cdot 3^{40} = -3^{-45 + 40} = -3^{-5}$; * знаменатель: $(-3)^{-7} = -3^{-7}$. Подставим полученные выражения в дробь: $$ \frac{-3^{-5}}{-3^{-7}} = \frac{3^{-5}}{3^{-7}} $$ При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: $$ 3^{-5 - (-7)} = 3^{-5 + 7} = 3^2 = 9 $$ **Ответ:** 1) $12,2$; 2) $7$; 3) $9$.