ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 7 - 7.30

1) Упростим выражение $\frac{28^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n}$. Разложим основание степени числителя на простые множители: $$ 28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 $$ Применим свойства степеней $(a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m$ и $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$: $$ 28^{n+1} = (2^2 \cdot 7)^{n+1} = (2^2)^{n+1} \cdot 7^{n+1} = 2^{2(n+1)} \cdot 7^{n+1} = 2^{2n+2} \cdot 7^{n+1} $$ Подставим полученное выражение в числитель дроби: $$ \frac{28^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n} = \frac{2^{2n+2} \cdot 7^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 7^n} $$ Используя свойство деления степеней с одинаковыми основаниями $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, сгруппируем множители: $$ \frac{2^{2n+2}}{2^{2n+1}} \cdot \frac{7^{n+1}}{7^n} = 2^{(2n+2) - (2n+1)} \cdot 7^{(n+1) - n} = 2^{2n+2-2n-1} \cdot 7^{n+1-n} = 2^1 \cdot 7^1 = 2 \cdot 7 = 14 $$ 2) Упростим выражение $\frac{90^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n}$. Разложим основание степени числителя на простые множители: $$ 90 = 2 \cdot 9 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5 $$ Применим правила возведения произведения и степени в степень: $$ 90^{n+1} = (2 \cdot 3^2 \cdot 5)^{n+1} = 2^{n+1} \cdot (3^2)^{n+1} \cdot 5^{n+1} = 2^{n+1} \cdot 3^{2(n+1)} \cdot 5^{n+1} = 2^{n+1} \cdot 3^{2n+2} \cdot 5^{n+1} $$ Подставим полученное выражение в числитель дроби: $$ \frac{90^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n} = \frac{2^{n+1} \cdot 3^{2n+2} \cdot 5^{n+1}}{2^n \cdot 3^{2n} \cdot 5^n} $$ Применим свойство деления степеней с одинаковыми основаниями: $$ \frac{2^{n+1}}{2^n} \cdot \frac{3^{2n+2}}{3^{2n}} \cdot \frac{5^{n+1}}{5^n} = 2^{(n+1) - n} \cdot 3^{(2n+2) - 2n} \cdot 5^{(n+1) - n} = 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^1 $$ Вычислим значение полученного произведения: $$ 2 \cdot 9 \cdot 5 = 90 $$ Ответ: 1) $14$; 2) $90$.