ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.80

1) Докажем тождество: $$ \left( a - \frac{a^2 + x^2}{a + x} \right) \left( \frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x} \right) = 2a $$ Для доказательства упростим выражение в левой части тождества по действиям. Выполним вычитание в первой скобке, приведя выражение к общему знаменателю $a + x$: $$ a - \frac{a^2 + x^2}{a + x} = \frac{a(a + x) - (a^2 + x^2)}{a + x} = \frac{a^2 + ax - a^2 - x^2}{a + x} = \frac{ax - x^2}{a + x} = \frac{x(a - x)}{a + x} $$ Выполним сложение во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю $x(a - x)$: $$ \frac{2a}{x} + \frac{4a}{a - x} = \frac{2a(a - x) + 4a \cdot x}{x(a - x)} = \frac{2a^2 - 2ax + 4ax}{x(a - x)} = \frac{2a^2 + 2ax}{x(a - x)} = \frac{2a(a + x)}{x(a - x)} $$ Перемножим полученные результаты: $$ \frac{x(a - x)}{a + x} \cdot \frac{2a(a + x)}{x(a - x)} = \frac{x(a - x) \cdot 2a(a + x)}{(a + x) \cdot x(a - x)} $$ Сократим одинаковые множители $x$, $(a - x)$ и $(a + x)$: $$ \frac{2a}{1} = 2a $$ Получили: $2a = 2a$. Левая часть равна правой части. Тождество доказано. --- 2) Докажем тождество: $$ \frac{am^2 - an^2}{m^2 + 2mn + n^2} : \frac{am^2 - 2amn + an^2}{3m + 3n} = \frac{3}{m - n} $$ Преобразуем левую часть тождества. Разложим на множители числители и знаменатели дробей, используя вынесение общего множителя за скобки и формулы сокращенного умножения: - числитель первой дроби: $am^2 - an^2 = a(m^2 - n^2) = a(m - n)(m + n)$; - знаменатель первой дроби: $m^2 + 2mn + n^2 = (m + n)^2$; - числитель второй дроби: $am^2 - 2amn + an^2 = a(m^2 - 2mn + n^2) = a(m - n)^2$; - знаменатель второй дроби: $3m + 3n = 3(m + n)$. Подставим полученные разложения: $$ \frac{a(m - n)(m + n)}{(m + n)^2} : \frac{a(m - n)^2}{3(m + n)} $$ Сократим первую дробь на $(m + n)$: $$ \frac{a(m - n)}{m + n} : \frac{a(m - n)^2}{3(m + n)} $$ Заменим деление умножением на взаимно обратную дробь: $$ \frac{a(m - n)}{m + n} \cdot \frac{3(m + n)}{a(m - n)^2} = \frac{3a(m - n)(m + n)}{a(m + n)(m - n)^2} $$ Сократим общие множители $a$, $(m + n)$ и $(m - n)$: $$ \frac{3}{m - n} $$ Получили: $\frac{3}{m - n} = \frac{3}{m - n}$. Левая часть равна правой части. Тождество доказано.