ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.78

### 1) Упростим выражение по действиям: $$ \left(a+\frac{a-b}{a+b}-b\right):\left(\frac{2a+1}{a^{2}-b^{2}}+1\right) $$ 1. Выполним вычитание и сложение в первых скобках, сгруппировав слагаемые $a - b$: $$ (a - b) + \frac{a-b}{a+b} = \frac{(a-b)(a+b) + (a-b)}{a+b} $$ Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки в числителе: $$ \frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b} $$ 2. Выполним сложение во вторых скобках: $$ \frac{2a+1}{a^2-b^2} + 1 = \frac{2a+1 + a^2-b^2}{a^2-b^2} = \frac{(a^2+2a+1) - b^2}{a^2-b^2} $$ Применим формулу квадрата суммы и формулу разности квадратов: $$ \frac{(a+1)^2 - b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a+1-b)(a+1+b)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b+1)(a+b+1)}{(a-b)(a+b)} $$ 3. Выполним деление, умножив первую дробь на дробь, обратную второй: $$ \frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b} : \frac{(a-b+1)(a+b+1)}{(a-b)(a+b)} = \frac{(a-b)(a+b+1)}{a+b} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{(a-b+1)(a+b+1)} $$ Сократим одинаковые множители $(a+b)$ и $(a+b+1)$: $$ \frac{(a-b)(a-b)}{a-b+1} = \frac{(a-b)^2}{a-b+1} $$ **Ответ:** $\dfrac{(a-b)^2}{a-b+1}$ --- ### 2) Упростим выражение по действиям: $$ \left(x-\frac{x+y}{x-y}+y\right):\left(1-\frac{2y+1}{x^{2}-y^{2}}\right) $$ 1. Сгруппируем слагаемые в первой скобке: $$ (x + y) - \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x+y)(x-y) - (x+y)}{x-y} $$ Вынесем общий множитель $(x + y)$ за скобки: $$ \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y} $$ 2. Приведем к общему знаменателю выражение во второй скобке: $$ 1 - \frac{2y+1}{x^2-y^2} = \frac{x^2-y^2 - (2y+1)}{x^2-y^2} = \frac{x^2 - (y^2+2y+1)}{x^2-y^2} $$ Применим формулу квадрата суммы и разложим числитель и знаменатель по формуле разности квадратов: $$ \frac{x^2 - (y+1)^2}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x - (y+1))(x + (y+1))}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{(x-y)(x+y)} $$ 3. Выполним деление: $$ \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y} : \frac{(x-y-1)(x+y+1)}{(x-y)(x+y)} = \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y} \cdot \frac{(x-y)(x+y)}{(x-y-1)(x+y+1)} $$ Сократим одинаковые множители $(x-y)$ и $(x-y-1)$: $$ \frac{(x+y)(x+y)}{x+y+1} = \frac{(x+y)^2}{x+y+1} $$ **Ответ:** $\dfrac{(x+y)^2}{x+y+1}$ --- ### 3) Выполним умножение дробей последовательно: $$ \frac{x-1}{x}\cdot\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x^{2}+1}{x^{2}}\cdot\frac{x^{4}}{x^{4}-1} $$ 1. Перемножим первые две дроби, используя формулу разности квадратов $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$: $$ \frac{(x-1)(x+1)}{x \cdot x} = \frac{x^2-1}{x^2} $$ 2. Умножим полученный результат на третью дробь: $$ \frac{x^2-1}{x^2} \cdot \frac{x^2+1}{x^2} = \frac{(x^2-1)(x^2+1)}{x^4} = \frac{x^4-1}{x^4} $$ 3. Умножим на четвертую дробь: $$ \frac{x^4-1}{x^4} \cdot \frac{x^4}{x^4-1} = 1 $$ **Ответ:** $1$ --- ### 4) Выполним действия в порядке вложенности скобок: $$ \left(\left(\frac{1-a}{a}:\frac{a}{1+a}\right):\frac{a^{2}}{1+a^{2}}\right):\frac{a^{4}-1}{a^{4}} $$ 1. Первое действие во внутренних скобках: $$ \frac{1-a}{a} : \frac{a}{1+a} = \frac{1-a}{a} \cdot \frac{1+a}{a} = \frac{1-a^2}{a^2} $$ 2. Второе деление: $$ \frac{1-a^2}{a^2} : \frac{a^2}{1+a^2} = \frac{1-a^2}{a^2} \cdot \frac{1+a^2}{a^2} = \frac{(1-a^2)(1+a^2)}{a^4} = \frac{1-a^4}{a^4} $$ 3. Третье деление: $$ \frac{1-a^4}{a^4} : \frac{a^4-1}{a^4} = \frac{1-a^4}{a^4} \cdot \frac{a^4}{a^4-1} = \frac{1-a^4}{a^4-1} $$ Вынесем знак «минус» в числителе: $$ \frac{-(a^4-1)}{a^4-1} = -1 $$ **Ответ:** $-1$