ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.81

**6.81.** **1)** $$\frac{3a^2 + 3ab + 3b^2}{4a + 4b} \cdot \frac{2a^2 - 2b^2}{9a^3 - 9b^3}$$ Разложим числители и знаменатели дробей на множители: * в числителе первой дроби вынесем общий множитель $3$: $$3a^2 + 3ab + 3b^2 = 3(a^2 + ab + b^2)$$ * в знаменателе первой дроби вынесем общий множитель $4$: $$4a + 4b = 4(a + b)$$ * в числителе второй дроби применим формулу разности квадратов: $$2a^2 - 2b^2 = 2(a^2 - b^2) = 2(a - b)(a + b)$$ * в знаменателе второй дроби применим формулу разности кубов: $$9a^3 - 9b^3 = 9(a^3 - b^3) = 9(a - b)(a^2 + ab + b^2)$$ Подставим полученные разложения в исходное выражение: $$\frac{3(a^2 + ab + b^2)}{4(a + b)} \cdot \frac{2(a - b)(a + b)}{9(a - b)(a^2 + ab + b^2)}$$ Сократим дробь на общие множители $(a^2 + ab + b^2)$, $(a + b)$ и $(a - b)$: $$\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 9} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$ **Ответ:** $\frac{1}{6}$ --- **2)** $$\frac{5x^2 - 10xy + 5y^2}{2x^2 - 2xy + 2y^2} \div \frac{8x - 8y}{10x^3 + 10y^3}$$ Заменим деление умножением на обратную дробь: $$\frac{5x^2 - 10xy + 5y^2}{2x^2 - 2xy + 2y^2} \cdot \frac{10x^3 + 10y^3}{8x - 8y}$$ Разложим числители и знаменатели на множители: * $5x^2 - 10xy + 5y^2 = 5(x^2 - 2xy + y^2) = 5(x - y)^2$ * $2x^2 - 2xy + 2y^2 = 2(x^2 - xy + y^2)$ * $10x^3 + 10y^3 = 10(x^3 + y^3) = 10(x + y)(x^2 - xy + y^2)$ * $8x - 8y = 8(x - y)$ Подставим разложения: $$\frac{5(x - y)^2}{2(x^2 - xy + y^2)} \cdot \frac{10(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{8(x - y)}$$ Сократим дробь на $(x^2 - xy + y^2)$ и $(x - y)$: $$\frac{5(x - y) \cdot 10(x + y)}{2 \cdot 8} = \frac{50(x - y)(x + y)}{16} = \frac{25(x^2 - y^2)}{8}$$ **Ответ:** $\frac{25(x^2 - y^2)}{8}$ (или $\frac{25(x - y)(x + y)}{8}$) --- **3)** $$\frac{a^2 - 5a + 6}{a^2 + 7a + 12} \cdot \frac{a^2 + 3a}{a^2 - 4a + 4}$$ Разложим на множители квадратные трёхчлены и многочлены: * $a^2 - 5a + 6 = a^2 - 2a - 3a + 6 = a(a - 2) - 3(a - 2) = (a - 2)(a - 3)$ * $a^2 + 7a + 12 = a^2 + 3a + 4a + 12 = a(a + 3) + 4(a + 3) = (a + 3)(a + 4)$ * $a^2 + 3a = a(a + 3)$ * $a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$ Запишем произведение дробей с разложенными многочленами: $$\frac{(a - 2)(a - 3)}{(a + 3)(a + 4)} \cdot \frac{a(a + 3)}{(a - 2)^2}$$ Сократим на $(a - 2)$ и $(a + 3)$: $$\frac{a(a - 3)}{(a + 4)(a - 2)}$$ **Ответ:** $\frac{a(a - 3)}{(a + 4)(a - 2)}$ --- **4)** $$\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 3x - 10} \div \frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 - 9x + 14}$$ Заменим деление умножением на обратную дробь: $$\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2 + 3x - 10} \cdot \frac{x^2 - 9x + 14}{x^2 + 7x + 12}$$ Разложим каждый трёхчлен на множители методом группировки: * $x^2 + 2x - 3 = x^2 + 3x - x - 3 = x(x + 3) - 1(x + 3) = (x + 3)(x - 1)$ * $x^2 + 3x - 10 = x^2 + 5x - 2x - 10 = x(x + 5) - 2(x + 5) = (x + 5)(x - 2)$ * $x^2 - 9x + 14 = x^2 - 2x - 7x + 14 = x(x - 2) - 7(x - 2) = (x - 2)(x - 7)$ * $x^2 + 7x + 12 = x^2 + 3x + 4x + 12 = x(x + 3) + 4(x + 3) = (x + 3)(x + 4)$ Подставим разложения: $$\frac{(x + 3)(x - 1)}{(x + 5)(x - 2)} \cdot \frac{(x - 2)(x - 7)}{(x + 3)(x + 4)}$$ Сократим на общие множители $(x + 3)$ и $(x - 2)$: $$\frac{(x - 1)(x - 7)}{(x + 5)(x + 4)}$$ **Ответ:** $\frac{(x - 1)(x - 7)}{(x + 5)(x + 4)}$