ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.60

По основному свойству пропорции из равенства дробей $$ \frac{a^2 - 2b}{a(1 - 2b)} = \frac{b^2 - 2a}{b(1 - 2a)} $$ следует: $$ b(1 - 2a)(a^2 - 2b) = a(1 - 2b)(b^2 - 2a) $$ Раскроем скобки в обеих частях равенства: $$ (b - 2ab)(a^2 - 2b) = (a - 2ab)(b^2 - 2a) $$ $$ a^2b - 2b^2 - 2a^3b + 4ab^2 = ab^2 - 2a^2 - 2ab^3 + 4a^2b $$ Перенесём все слагаемые в левую часть: $$ a^2b - 4a^2b + 4ab^2 - ab^2 + 2a^2 - 2b^2 - 2a^3b + 2ab^3 = 0 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ -3a^2b + 3ab^2 + 2(a^2 - b^2) - 2ab(a^2 - b^2) = 0 $$ Разложим левую часть на множители способом группировки: $$ -3ab(a - b) + 2(a - b)(a + b) - 2ab(a - b)(a + b) = 0 $$ Вынесем общий множитель $(a - b)$ за скобки: $$ (a - b) \bigl(-3ab + 2(a + b) - 2ab(a + b)\bigr) = 0 $$ Так как по условию $a \neq b$, то разность $a - b \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $(a - b)$: $$ -3ab + 2(a + b) - 2ab(a + b) = 0 $$ Перенесём слагаемые так, чтобы сгруппировать члены: $$ 2(a + b) - 3ab = 2ab(a + b) $$ По условию $a \neq 0$ и $b \neq 0$, следовательно, $2ab \neq 0$. Разделим обе части равенства на $2ab$: $$ \frac{2(a + b)}{2ab} - \frac{3ab}{2ab} = \frac{2ab(a + b)}{2ab} $$ Упростим полученные дроби: $$ \frac{a + b}{ab} - \frac{3}{2} = a + b $$ Почленно разделим числитель дроби в левой части на знаменатель: $$ \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab} - 1,5 = a + b $$ $$ \frac{1}{b} + \frac{1}{a} - 1,5 = a + b $$ Прибавим $1,5$ к обеим частям равенства: $$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = a + b + 1,5 $$ или $$ a + b + 1,5 = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} $$ Что и требовалось доказать.