ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 6 - 6.57

**1)** Докажем тождество: $$ \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(c-a)(a-b)} + \frac{1}{(b-c)(c-a)} = 0 $$ Преобразуем левую часть выражения. Приведём дроби к общему знаменателю $(a-b)(b-c)(c-a)$: * дополнительный множитель для первой дроби: $(c-a)$; * дополнительный множитель для второй дроби: $(b-c)$; * дополнительный множитель для третьей дроби: $(a-b)$. Запишем сумму дробей под единой чертой: $$ \frac{1 \cdot (c-a) + 1 \cdot (b-c) + 1 \cdot (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$ Раскроем скобки в числителе и приведём подобные слагаемые: $$ \frac{c - a + b - c + a - b}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{(a - a) + (b - b) + (c - c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0 $$ Левая часть равна правой ($0 = 0$). Тождество доказано. --- **2)** Докажем тождество: $$ \frac{ax + by}{(a-b)(x+y)} - \frac{bx - ay}{(a+b)(x+y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $$ Преобразуем левую часть равенства. Общий знаменатель дробей равен $(a-b)(a+b)(x+y)$: * дополнительный множитель для первой дроби: $(a+b)$; * дополнительный множитель для второй дроби: $(a-b)$. Запишем разность дробей: $$ \frac{(ax + by)(a + b) - (bx - ay)(a - b)}{(a-b)(a+b)(x+y)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ (ax + by)(a + b) = a^2x + abx + aby + b^2y $$ $$ (bx - ay)(a - b) = abx - b^2x - a^2y + aby $$ Выполним вычитание: $$ (a^2x + abx + aby + b^2y) - (abx - b^2x - a^2y + aby) = a^2x + abx + aby + b^2y - abx + b^2x + a^2y - aby $$ Взаимно уничтожим противоположные слагаемые $abx - abx = 0$ и $aby - aby = 0$: $$ a^2x + b^2x + a^2y + b^2y $$ Сгруппируем слагаемые в числителе и вынесем общие множители: $$ (a^2x + b^2x) + (a^2y + b^2y) = x(a^2 + b^2) + y(a^2 + b^2) = (a^2 + b^2)(x + y) $$ Подставим полученный числитель обратно в дробь: $$ \frac{(a^2 + b^2)(x + y)}{(a-b)(a+b)(x+y)} $$ Сократим дробь на общий множитель $(x + y)$: $$ \frac{a^2 + b^2}{(a-b)(a+b)} $$ Применим формулу разности квадратов в знаменателе $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $$ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $$ Левая часть равна правой: $$ \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 - b^2} $$ Тождество доказано.