ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.92

**1)** Преобразуем выражение $(2n+3)^3 - (2n-1)^3 + 4$. Применим формулы куба суммы $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ и куба разности $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$: $(2n+3)^3 = (2n)^3 + 3 \cdot (2n)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 2n \cdot 3^2 + 3^3 = 8n^3 + 36n^2 + 54n + 27$ $(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 2n \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$ Подставим полученные многочлены в исходное выражение: $$ (8n^3 + 36n^2 + 54n + 27) - (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) + 4 $$ Раскроем скобки с учетом знаков и приведем подобные слагаемые: $$ 8n^3 + 36n^2 + 54n + 27 - 8n^3 + 12n^2 - 6n + 1 + 4 = 48n^2 + 48n + 32 $$ Вынесем общий множитель $16$ за скобки: $$ 16(3n^2 + 3n + 2) $$ Так как $n$ — натуральное число, значение выражения $3n^2 + 3n + 2$ является целым числом. Следовательно, произведение $16(3n^2 + 3n + 2)$ делится нацело на 16 при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать. --- **2)** Преобразуем выражение $(5n+1)^3 + (2n-1)^3 - 7n^3$. Раскроем кубы двучленов: $(5n+1)^3 = (5n)^3 + 3 \cdot (5n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot 5n \cdot 1^2 + 1^3 = 125n^3 + 75n^2 + 15n + 1$ $(2n-1)^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$ Подставим их в исходное выражение: $$ (125n^3 + 75n^2 + 15n + 1) + (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) - 7n^3 $$ Приведем подобные слагаемые: $$ (125n^3 + 8n^3 - 7n^3) + (75n^2 - 12n^2) + (15n + 6n) + (1 - 1) = 126n^3 + 63n^2 + 21n $$ Вынесем общий множитель $21$ за скобки: $$ 21(6n^3 + 3n^2 + n) $$ Так как $n$ — натуральное число, выражение $6n^3 + 3n^2 + n$ принимает целые значения. Значит, произведение $21(6n^3 + 3n^2 + n)$ делится нацело на 21 при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.