ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.94

Для доказательства используем формулу суммы кубов первых $n$ натуральных чисел: $$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + n^3 = \left(\frac{n(n + 1)}{2}\right)^2 $$ 1) Докажем, что сумма $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 9^3$ делится на 5. В данном случае количество слагаемых $n = 9$. Применим формулу: $$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 9^3 = \left(\frac{9 \cdot (9 + 1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{9 \cdot 10}{2}\right)^2 = (9 \cdot 5)^2 $$ Преобразуем полученное выражение: $$ (9 \cdot 5)^2 = 9^2 \cdot 5^2 = 81 \cdot 25 = 5 \cdot (81 \cdot 5) $$ Так как один из множителей равен 5, то всё произведение делится нацело на 5. Утверждение доказано. 2) Докажем, что сумма $1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 49^3$ делится на 25. В данном случае количество слагаемых $n = 49$. Применим формулу: $$ 1^3 + 2^3 + 3^3 + \ldots + 49^3 = \left(\frac{49 \cdot (49 + 1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{49 \cdot 50}{2}\right)^2 = (49 \cdot 25)^2 $$ Преобразуем полученное выражение: $$ (49 \cdot 25)^2 = 49^2 \cdot 25^2 = 25 \cdot (49^2 \cdot 25) $$ Так как один из множителей равен 25, то всё произведение делится нацело на 25. Утверждение доказано.