ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.59

**5.59.** Для доказательства преобразуем данное выражение с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ (4n + 5)^2 - 9 = (4n + 5)^2 - 3^2 $$ Разложим выражение на множители: $$ ((4n + 5) - 3)((4n + 5) + 3) = (4n + 2)(4n + 8) $$ Вынесем общие множители из каждой скобки: из первой скобки вынесем $2$, а из второй скобки вынесем $4$: $$ 2(2n + 1) \cdot 4(n + 2) = 8(2n + 1)(n + 2) $$ При любом натуральном $n$ выражение $(2n + 1)(n + 2)$ принимает целое значение. Так как в полученном произведении один из множителей равен $8$, то всё выражение $8(2n + 1)(n + 2)$ делится нацело на 8 при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.