ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.60

**5.60.** Докажем, что при любом натуральном значении $n$ выражение кратно $11$. Представим $4n^2$ как $(2n)^2$ и применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ (2n + 11)^2 - 4n^2 = (2n + 11)^2 - (2n)^2 $$ Разложим выражение на множители: $$ (2n + 11 - 2n)(2n + 11 + 2n) $$ Приведем подобные слагаемые в каждой скобке: $$ 11 \cdot (4n + 11) $$ При любом натуральном $n$ значение выражения $(4n + 11)$ является натуральным числом. Так как один из множителей полученного произведения равен $11$, то и все произведение делится нацело на $11$. Следовательно, значение выражения $(2n + 11)^2 - 4n^2$ кратно $11$ при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.