ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.143

1) $x^8 + x^4 + 1$ Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя $x^4$: $$ x^8 + x^4 + 1 = (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 $$ Свернем выражение в скобках по формуле квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $$ (x^8 + 2x^4 + 1) - x^4 = (x^4 + 1)^2 - (x^2)^2 $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ (x^4 + 1)^2 - (x^2)^2 = (x^4 + 1 - x^2)(x^4 + 1 + x^2) = (x^4 - x^2 + 1)(x^4 + x^2 + 1) $$ Множитель $x^4 + x^2 + 1$ также можно разложить на множители аналогичным способом: $$ x^4 + x^2 + 1 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2 = (x^2 + 1)^2 - x^2 = (x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) $$ Подставим полученное выражение: $$ x^8 + x^4 + 1 = (x^4 - x^2 + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) $$ Ответ: $(x^4 - x^2 + 1)(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1)$. --- 2) $x^4 + x^2 y^2 + y^4$ Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя $x^2 y^2$: $$ x^4 + x^2 y^2 + y^4 = (x^4 + 2x^2 y^2 + y^4) - x^2 y^2 $$ Свернем выражение в скобках по формуле квадрата суммы: $$ (x^4 + 2x^2 y^2 + y^4) - x^2 y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 $$ Применим формулу разности квадратов: $$ (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 + y^2 - xy)(x^2 + y^2 + xy) = (x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2) $$ Ответ: $(x^2 - xy + y^2)(x^2 + xy + y^2)$. --- 3) $a^3 - 3a + 2$ Представим число $2$ как $3 - 1$ или число $-3a$ как $-a - 2a$. Удобно сгруппировать, выделив разность кубов $a^3 - 1$: $$ a^3 - 3a + 2 = (a^3 - 1) - (3a - 3) = (a^3 - 1^3) - 3(a - 1) $$ Разложим $a^3 - 1$ по формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$: $$ (a - 1)(a^2 + a + 1) - 3(a - 1) $$ Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки: $$ (a - 1)(a^2 + a + 1 - 3) = (a - 1)(a^2 + a - 2) $$ Разложим квадратный трехчлен $a^2 + a - 2$, представив средний член $a$ в виде $2a - a$: $$ a^2 + a - 2 = a^2 + 2a - a - 2 = a(a + 2) - 1(a + 2) = (a - 1)(a + 2) $$ Тогда получаем: $$ (a - 1)(a - 1)(a + 2) = (a - 1)^2(a + 2) $$ Ответ: $(a - 1)^2(a + 2)$. --- 4) $x^3 + 3x^2 - 4$ Представим слагаемое $-4$ в виде $-1 - 3$ и сгруппируем члены: $$ x^3 + 3x^2 - 4 = (x^3 - 1) + (3x^2 - 3) $$ Вынесем $3$ во второй скобке: $$ (x^3 - 1) + 3(x^2 - 1) $$ Применим формулу разности кубов к первой скобке и формулу разности квадратов ко второй: $$ (x - 1)(x^2 + x + 1) + 3(x - 1)(x + 1) $$ Вынесем общий множитель $(x - 1)$ за скобки: $$ (x - 1)\left((x^2 + x + 1) + 3(x + 1)\right) $$ Раскроем скобки внутри второй группы: $$ (x - 1)(x^2 + x + 1 + 3x + 3) = (x - 1)(x^2 + 4x + 4) $$ Заметим, что $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом $(x + 2)^2$: $$ (x - 1)(x + 2)^2 $$ Ответ: $(x - 1)(x + 2)^2$.