ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.145

1) Преобразуем данное выражение, раскрыв квадрат суммы: $$ (2n + 1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n $$ Вынесем общий множитель $4n$ за скобки: $$ 4n(n + 1) $$ Числа $n$ и $n + 1$ являются двумя последовательными целыми числами, поэтому одно из них обязательно чётное, то есть делится на $2$. Следовательно, произведение $n(n + 1)$ делится на $2$, а всё выражение: $$ 4 \cdot n(n + 1) $$ делится на $4 \cdot 2 = 8$. Значит, при любом целом $n$ значение выражения $(2n + 1)^2 - 1$ кратно 8. Утверждение доказано. 2) Разложим выражение $n^3 - n$ на множители. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки: $$ n^3 - n = n(n^2 - 1) $$ Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к выражению в скобках: $$ n(n - 1)(n + 1) = (n - 1)n(n + 1) $$ Полученное произведение $(n - 1)n(n + 1)$ представляет собой произведение трёх последовательных целых чисел. Среди любых трёх последовательных целых чисел: - хотя бы одно число является чётным (делится на $2$); - ровно одно число делится на $3$. Так как числа $2$ и $3$ взаимно простые, то произведение делится на их произведение: $2 \cdot 3 = 6$. Значит, при любом целом $n$ значение выражения $n^3 - n$ кратно 6. Утверждение доказано.