ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.141

**1)** $m^3 - m^2n - mn^2 + n^3$ Сгруппируем слагаемые попарно и вынесем общие множители: $$ (m^3 - m^2n) - (mn^2 - n^3) = m^2(m - n) - n^2(m - n) $$ Вынесем общий двучлен $(m - n)$ за скобки: $$ = (m - n)(m^2 - n^2) $$ Применим формулу разности квадратов $m^2 - n^2 = (m - n)(m + n)$: $$ = (m - n)(m - n)(m + n) = (m - n)^2(m + n) $$ Ответ: $(m - n)^2(m + n)$. --- **2)** $x^5 - x^3 + x^2 - 1$ Сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвёртым: $$ (x^5 - x^3) + (x^2 - 1) = x^3(x^2 - 1) + 1 \cdot (x^2 - 1) $$ Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$ за скобки: $$ = (x^2 - 1)(x^3 + 1) $$ Разложим скобки на множители: * по формуле разности квадратов: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$; * по формуле суммы кубов: $x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)$. $$ = (x - 1)(x + 1)(x + 1)(x^2 - x + 1) = (x - 1)(x + 1)^2(x^2 - x + 1) $$ Ответ: $(x - 1)(x + 1)^2(x^2 - x + 1)$. --- **3)** $x^4 + x^3 - x - 1$ Сгруппируем слагаемые: $$ (x^4 + x^3) - (x + 1) = x^3(x + 1) - 1 \cdot (x + 1) $$ Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки: $$ = (x + 1)(x^3 - 1) $$ Применим формулу разности кубов $x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$: $$ = (x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1) $$ Ответ: $(x + 1)(x - 1)(x^2 + x + 1)$. --- **4)** $a^4 + a^3 + a + 1$ Сгруппируем слагаемые: $$ (a^4 + a^3) + (a + 1) = a^3(a + 1) + 1 \cdot (a + 1) $$ Вынесем общий множитель $(a + 1)$ за скобки: $$ = (a + 1)(a^3 + 1) $$ Применим формулу суммы кубов $a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$: $$ = (a + 1)(a + 1)(a^2 - a + 1) = (a + 1)^2(a^2 - a + 1) $$ Ответ: $(a + 1)^2(a^2 - a + 1)$. --- **5)** $m^6 - m^4 + 2m^3 + 2m^2$ Сгруппируем слагаемые попарно: $$ (m^6 - m^4) + (2m^3 + 2m^2) = m^4(m^2 - 1) + 2m^2(m + 1) $$ Разложим $m^2 - 1$ по формуле разности квадратов: $$ = m^4(m - 1)(m + 1) + 2m^2(m + 1) $$ Вынесем за скобки общий множитель $m^2(m + 1)$: $$ = m^2(m + 1)\bigl(m^2(m - 1) + 2\bigr) = m^2(m + 1)(m^3 - m^2 + 2) $$ Многочлен $m^3 - m^2 + 2$ можно разложить дальше, представив его как $(m^3 + 1) - (m^2 - 1) = (m + 1)(m^2 - m + 1) - (m - 1)(m + 1) = (m + 1)(m^2 - 2m + 2)$: $$ = m^2(m + 1)^2(m^2 - 2m + 2) $$ Ответ: $m^2(m + 1)(m^3 - m^2 + 2)$ или $m^2(m + 1)^2(m^2 - 2m + 2)$. --- **6)** $b^3 - 8 + 6b^2 - 12b$ Сгруппируем разность кубов и оставшиеся два слагаемых: $$ (b^3 - 8) + (6b^2 - 12b) $$ Разложим $b^3 - 8 = b^3 - 2^3$ по формуле разности кубов, а из второй скобки вынесем $6b$: $$ = (b - 2)(b^2 + 2b + 4) + 6b(b - 2) $$ Вынесем общий множитель $(b - 2)$ за скобки: $$ = (b - 2)(b^2 + 2b + 4 + 6b) = (b - 2)(b^2 + 8b + 4) $$ Ответ: $(b - 2)(b^2 + 8b + 4)$.