ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.138

1) Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $$ a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) $$ Разложим первую скобку еще раз по формуле разности квадратов: $$ (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2) $$ 2) Представим выражение как разность квадратов: $$ a^6 - b^6 = (a^3)^2 - (b^3)^2 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) $$ Применим формулы разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$ и суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$: $$ (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + b)(a^2 - ab + b^2) $$ Запишем множители в привычном порядке: $$ (a - b)(a + b)(a^2 - ab + b^2)(a^2 + ab + b^2) $$ 3) Последовательно применим формулу разности квадратов: $$ a^8 - b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4) $$ Разложим множитель $a^4 - b^4$: $$ (a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) $$ Разложим множитель $a^2 - b^2$: $$ (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) = (a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4) $$ 4) Сгруппируем слагаемые: $$ a^4 + a^3 + a + 1 = (a^4 + a^3) + (a + 1) $$ Вынесем общий множитель $a^3$ из первой скобки: $$ a^3(a + 1) + 1(a + 1) = (a + 1)(a^3 + 1) $$ Разложим выражение $a^3 + 1$ по формуле суммы кубов $a^3 + 1^3 = (a + 1)(a^2 - a + 1)$: $$ (a + 1)(a + 1)(a^2 - a + 1) = (a + 1)^2(a^2 - a + 1) $$ 5) Применим формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = a + b$, а $y = a - b$: $$ (a + b)^3 - (a - b)^3 = ((a + b) - (a - b))((a + b)^2 + (a + b)(a - b) + (a - b)^2) $$ Упростим выражение в каждой из скобок: $$ (a + b - a + b)(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - b^2 + a^2 - 2ab + b^2) $$ Приведем подобные слагаемые: $$ 2b(3a^2 + b^2) $$ 6) Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = (a + b)^2$, а $y = (a - b)^2$: $$ (a + b)^4 - (a - b)^4 = ((a + b)^2)^2 - ((a - b)^2)^2 = ((a + b)^2 - (a - b)^2)((a + b)^2 + (a - b)^2) $$ Первую скобку разложим как разность квадратов, а во второй раскроем квадраты двучленов: $$ ((a + b) - (a - b))((a + b) + (a - b))(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2) $$ Приведем подобные слагаемые в каждой группе: $$ (a + b - a + b)(a + b + a - b)(2a^2 + 2b^2) = 2b \cdot 2a \cdot 2(a^2 + b^2) $$ Перемножим числовые коэффициенты: $$ 8ab(a^2 + b^2) $$