ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 5 - 5.14

Для представления трехчленов в виде квадрата двучлена применим формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(u + v)^2 = u^2 + 2uv + v^2$ и квадрат разности $(u - v)^2 = u^2 - 2uv + v^2$. 1) $25x^2 + 49y^2 - 70xy$ Переставим слагаемые и выделим квадраты выражений и их удвоенное произведение: $$ 25x^2 - 70xy + 49y^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 7y + (7y)^2 = (5x - 7y)^2 $$ Ответ: $(5x - 7y)^2$. 2) $\frac{1}{4}a^2 + 3a + 9$ Представим первое слагаемое как $\left(\frac{1}{2}a\right)^2$, последнее как $3^2$, а среднее как удвоенное произведение $2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 3 = 3a$: $$ \frac{1}{4}a^2 + 3a + 9 = \left(\frac{1}{2}a\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 3 + 3^2 = \left(\frac{1}{2}a + 3\right)^2 $$ Ответ: $\left(\frac{1}{2}a + 3\right)^2$. 3) $\frac{25}{36}m^2 - mn + \frac{9}{25}n^2$ Запишем крайние члены в виде квадратов: $\frac{25}{36}m^2 = \left(\frac{5}{6}m\right)^2$ и $\frac{9}{25}n^2 = \left(\frac{3}{5}n\right)^2$. Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot \frac{5}{6}m \cdot \frac{3}{5}n = mn$: $$ \frac{25}{36}m^2 - mn + \frac{9}{25}n^2 = \left(\frac{5}{6}m\right)^2 - 2 \cdot \frac{5}{6}m \cdot \frac{3}{5}n + \left(\frac{3}{5}n\right)^2 = \left(\frac{5}{6}m - \frac{3}{5}n\right)^2 $$ Ответ: $\left(\frac{5}{6}m - \frac{3}{5}n\right)^2$. 4) $0,01a^4 + b^2 - 0,2a^2b$ Упорядочим слагаемые по убыванию степеней переменной $a$: $$ 0,01a^4 - 0,2a^2b + b^2 = (0,1a^2)^2 - 2 \cdot 0,1a^2 \cdot b + b^2 = (0,1a^2 - b)^2 $$ *(Примечание: если в учебнике в пункте 4 приведено выражение $\frac{1}{16}c^4 + 2c^2x + 16x^2$, то решение имеет вид:)* $$ \frac{1}{16}c^4 + 2c^2x + 16x^2 = \left(\frac{1}{4}c^2\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}c^2 \cdot 4x + (4x)^2 = \left(\frac{1}{4}c^2 + 4x\right)^2 $$ Ответ: $(0,1a^2 - b)^2$ (или $\left(\frac{1}{4}c^2 + 4x\right)^2$). 5) $0,01a^4 + b^2 - 0,2a^2b$ Запишем выражение в виде квадрата разности: $$ 0,01a^4 - 0,2a^2b + b^2 = (0,1a^2)^2 - 2 \cdot 0,1a^2 \cdot b + b^2 = (0,1a^2 - b)^2 $$ Ответ: $(0,1a^2 - b)^2$. 6) $b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4$ Представим крайние члены в виде квадратов: $b^8 = (b^4)^2$ и $\frac{1}{4}a^4 = \left(\frac{1}{2}a^2\right)^2$. Проверим удвоенное произведение: $2 \cdot b^4 \cdot \frac{1}{2}a^2 = a^2b^4$: $$ b^8 - a^2b^4 + \frac{1}{4}a^4 = (b^4)^2 - 2 \cdot b^4 \cdot \frac{1}{2}a^2 + \left(\frac{1}{2}a^2\right)^2 = \left(b^4 - \frac{1}{2}a^2\right)^2 $$ Ответ: $\left(b^4 - \frac{1}{2}a^2\right)^2$.