ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.20

**1)** Функция задана формулой $f(x) = \frac{1}{1 + x^2}$. Дробь имеет смысл, если её знаменатель не равен нулю: $$ 1 + x^2 \neq 0 $$ Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен ($x^2 \ge 0$), то: $$ 1 + x^2 \ge 1 > 0 $$ Знаменатель положителен при любых значениях переменной $x$ и никогда не обращается в нуль. Следовательно, область определения функции — все действительные числа: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. **2)** Вычислим значения функции в указанных точках: $$ f(-10) = \frac{1}{1 + (-10)^2} = \frac{1}{1 + 100} = \frac{1}{101} $$ $$ f(-3) = \frac{1}{1 + (-3)^2} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10} $$ $$ f(-1) = \frac{1}{1 + (-1)^2} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $$ $$ f(0) = \frac{1}{1 + 0^2} = \frac{1}{1 + 0} = 1 $$ $$ f(1) = \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2} $$ $$ f(3) = \frac{1}{1 + 3^2} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10} $$ $$ f(10) = \frac{1}{1 + 10^2} = \frac{1}{1 + 100} = \frac{1}{101} $$ Сравним полученные результаты. Заметим, что значения в противоположных точках равны: $f(-10) = f(10) = \frac{1}{101}$, $f(-3) = f(3) = \frac{1}{10}$, $f(-1) = f(1) = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{101} < \frac{1}{10} < \frac{1}{2} < 1$, получаем: $$ f(-10) = f(10) < f(-3) = f(3) < f(-1) = f(1) < f(0) $$ **3)** Числитель дроби — постоянное положительное число $1$. Дробь с постоянным положительным числителем принимает наибольшее значение тогда, когда её знаменатель принимает наименьшее положительное значение. Поскольку $x^2 \ge 0$, наименьшее значение выражения $1 + x^2$ равно $1$ (оно достигается при $x = 0$). Следовательно, наибольшее значение функции равно: $$ f_{\text{наиб}} = f(0) = 1 $$ **4)** - Чтобы дробь была равна $0$, её числитель должен быть равен нулю. В данной дроби числитель равен $1$ ($1 \neq 0$), поэтому значение функции не может быть равным $0$. - Числитель дроби положителен ($1 > 0$), а знаменатель также строго положителен ($1 + x^2 \ge 1 > 0$) при всех действительных $x$. Частное двух положительных чисел всегда положительно, то есть $\frac{1}{1 + x^2} > 0$. Значит, значение функции не может быть отрицательным числом. Ответ: нет, не может. **5)** Из предыдущих пунктов следует, что при любых действительных $x$ выполняется неравенство: $$ 0 < f(x) \le 1 $$ При неограниченном увеличении $|x|$ знаменатель неограниченно возрастает, а значение дроби стремится к нулю, но никогда его не достигает. Значение $1$ достигается при $x = 0$. Таким образом, область значений функции представляет собой полуинтервал: $$ E(f) = (0; 1] $$