ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 3 - 3.103

Для системы двух линейных уравнений с двумя переменными вида $$ \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases} $$ число решений определяется соотношением коэффициентов: - система имеет **единственное решение**, если коэффициенты при переменных не пропорциональны: $\frac{a_2}{a_1} \neq \frac{b_2}{b_1}$, а $c_2$ — любое число; - система **не имеет решений**, если коэффициенты при переменных пропорциональны, но не пропорциональны свободным членам: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} \neq \frac{c_2}{c_1}$; - система имеет **бесконечно много решений**, если все соответствующие коэффициенты пропорциональны: $\frac{a_2}{a_1} = \frac{b_2}{b_1} = \frac{c_2}{c_1}$. --- ### 1) Дана система: $$ \begin{cases} 3x + 2y = 5, \\ ax + by = c \end{cases} $$ Здесь $a_1 = 3$, $b_1 = 2$, $c_1 = 5$, а $a_2 = a$, $b_2 = b$, $c_2 = c$. **а) Единственное решение** Коэффициенты при переменных должны удовлетворять условию: $$ \frac{a}{3} \neq \frac{b}{2} \quad \text{или} \quad 2a \neq 3b $$ Значение $c$ может быть любым действительным числом. Подберем, например, значения: $a = 1$, $b = 1$, $c = 5$ (так как $\frac{1}{3} \neq \frac{1}{2}$). **б) Не имеет решений** Коэффициенты при переменных должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет: $$ \frac{a}{3} = \frac{b}{2} \neq \frac{c}{5} $$ Пусть коэффициент пропорциональности равен $1$. Тогда: $a = 3$, $b = 2$, а $c \neq 5$. Подберем, например, значения: $a = 3$, $b = 2$, $c = 1$. **в) Бесконечно много решений** Все коэффициенты должны быть пропорциональны: $$ \frac{a}{3} = \frac{b}{2} = \frac{c}{5} = k \quad (k \neq 0) $$ При $k = 1$ второе уравнение полностью совпадает с первым: $a = 3$, $b = 2$, $c = 5$. При $k = 2$ получаем: $a = 6$, $b = 4$, $c = 10$. --- ### 2) Дана система: $$ \begin{cases} x - 2y = 11, \\ ax + by = c \end{cases} $$ Здесь $a_1 = 1$, $b_1 = -2$, $c_1 = 11$, а $a_2 = a$, $b_2 = b$, $c_2 = c$. **а) Единственное решение** Коэффициенты при переменных должны удовлетворять условию: $$ \frac{a}{1} \neq \frac{b}{-2} \quad \text{или} \quad 2a + b \neq 0 $$ Значение $c$ может быть любым действительным числом. Подберем, например, значения: $a = 1$, $b = 1$, $c = 11$ (так как $\frac{1}{1} \neq \frac{1}{-2}$). **б) Не имеет решений** Коэффициенты при переменных должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет: $$ \frac{a}{1} = \frac{b}{-2} \neq \frac{c}{11} $$ Пусть коэффициент пропорциональности равен $1$. Тогда: $a = 1$, $b = -2$, а $c \neq 11$. Подберем, например, значения: $a = 1$, $b = -2$, $c = 0$. **в) Бесконечно много решений** Все коэффициенты должны быть пропорциональны: $$ \frac{a}{1} = \frac{b}{-2} = \frac{c}{11} = k \quad (k \neq 0) $$ При $k = 1$ второе уравнение полностью совпадает с первым: $a = 1$, $b = -2$, $c = 11$. При $k = 2$ получаем: $a = 2$, $b = -4$, $c = 22$. --- **Ответ:** 1) а) Условие: $2a \neq 3b$, $c \in \mathbb{R}$ (например: $a = 1$, $b = 1$, $c = 5$); б) Условие: $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} \neq \frac{c}{5}$ (например: $a = 3$, $b = 2$, $c = 1$); в) Условие: $\frac{a}{3} = \frac{b}{2} = \frac{c}{5}$ (например: $a = 3$, $b = 2$, $c = 5$). 2) а) Условие: $2a + b \neq 0$, $c \in \mathbb{R}$ (например: $a = 1$, $b = 1$, $c = 11$); б) Условие: $\frac{a}{1} = \frac{b}{-2} \neq \frac{c}{11}$ (например: $a = 1$, $b = -2$, $c = 0$); в) Условие: $\frac{a}{1} = \frac{b}{-2} = \frac{c}{11}$ (например: $a = 1$, $b = -2$, $c = 11$).