ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.92

Число $10^n$ при любом натуральном $n$ записывается как единица, за которой следует $n$ нулей: $$ 10^n = 1\underbrace{00\ldots0}_{n\text{ нулей}} $$ Вычтем из этого числа единицу: $$ 10^n - 1 = \underbrace{99\ldots9}_{n\text{ девяток}} $$ Вынесем общий множитель $9$ за скобки: $$ \underbrace{99\ldots9}_{n\text{ девяток}} = 9 \cdot \underbrace{11\ldots1}_{n\text{ единиц}} $$ Так как $n$ — натуральное число, число $\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ единиц}}$ также является натуральным (целым). Следовательно, число $10^n - 1$ представляется в виде произведения числа $9$ и целого числа, а значит, оно кратно $9$ при любом натуральном $n$. Что и требовалось доказать.