ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.57

Для того чтобы доказать, что значение дроби $\frac{10^n - 1}{9}$ является натуральным числом при любом натуральном $n$, покажем, что числитель делится на $9$ без остатка. 1. Число $10^n$ при натуральном $n$ представляет собой единицу и $n$ нулей: $$ 10^n = 1\underbrace{00\ldots0}_{n\text{ нулей}} $$ 2. При вычитании единицы из числа $10^n$ получаем число, состоящее из $n$ девяток: $$ 10^n - 1 = \underbrace{99\ldots9}_{n\text{ девяток}} $$ 3. Вынесем общий множитель $9$ за скобки: $$ \underbrace{99\ldots9}_{n\text{ девяток}} = 9 \cdot \underbrace{11\ldots1}_{n\text{ единиц}} $$ 4. Подставим полученное выражение в дробь: $$ \frac{10^n - 1}{9} = \frac{9 \cdot \underbrace{11\ldots1}_{n\text{ единиц}}}{9} = \underbrace{11\ldots1}_{n\text{ единиц}} $$ Число $\underbrace{11\ldots1}_{n\text{ единиц}}$ состоит из $n$ цифр $1$ и при любом натуральном $n$ является натуральным числом. Что и требовалось доказать.