ГДЗ по алгебре 7 класс Шыныбеков раздел 1 - 1.31

Дана система линейных уравнений: $$ \begin{cases} x - 2y = 3, \\ 2x + ay = b \end{cases} $$ Выразим переменную $x$ из первого уравнения: $$ x = 2y + 3 $$ Подставим полученное выражение во второе уравнение системы: $$ 2(2y + 3) + ay = b $$ $$ 4y + 6 + ay = b $$ $$ (a + 4)y = b - 6 $$ Количество решений исходной системы уравнений определяется количеством решений полученного линейного уравнения относительно переменной $y$. **1) Одно решение** Уравнение $(a + 4)y = b - 6$ имеет единственный корень, если коэффициент при переменной $y$ отличен от нуля: $$ a + 4 \neq 0 \implies a \neq -4 $$ При этом значение переменной $y$ находится однозначно: $y = \frac{b - 6}{a + 4}$, следовательно, и значение переменной $x = 2y + 3$ также определяется единственным образом при любом значении $b$. Значит, система имеет одно решение при $a \neq -4$ и любом значении $b$. **2) Бесконечное множество решений** Уравнение $(a + 4)y = b - 6$ имеет бесконечно много решений (принимает вид $0 \cdot y = 0$), если одновременно коэффициент при $y$ и свободный член равны нулю: $$ \begin{cases} a + 4 = 0, \\ b - 6 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a = -4, \\ b = 6 \end{cases} $$ В этом случае равенство $0 \cdot y = 0$ верно при любом $y$, а для каждого значения $y$ находится соответствующее значение $x = 2y + 3$. Значит, система имеет бесконечное множество решений при $a = -4$ и $b = 6$. **3) Не имеет решения** Уравнение $(a + 4)y = b - 6$ не имеет решений (принимает вид $0 \cdot y = c$, где $c \neq 0$), если коэффициент при переменной $y$ равен нулю, а свободный член отличен от нуля: $$ \begin{cases} a + 4 = 0, \\ b - 6 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a = -4, \\ b \neq 6 \end{cases} $$ В этом случае равенство $0 \cdot y = b - 6$ не выполняется ни при каком значении $y$. Значит, система не имеет решений при $a = -4$ и $b \neq 6$. **Ответ:** 1) при $a \neq -4$ и любом $b$; 2) при $a = -4$ и $b = 6$; 3) при $a = -4$ и $b \neq 6$.