ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 958

**а)** Докажем тождество: $$ \left( \frac{m^2 + 2m}{4m^2 - n^2} - \frac{1}{2m + n} \right) : \frac{m^2 + n}{20m^2 + 10mn} + \frac{5n}{n - 2m} = 5 $$ 1) Выполним вычитание в скобках, разложив знаменатель первой дроби по формуле разности квадратов: $$ \frac{m^2 + 2m}{(2m - n)(2m + n)} - \frac{1}{2m + n} = \frac{m^2 + 2m - (2m - n)}{(2m - n)(2m + n)} = \frac{m^2 + 2m - 2m + n}{(2m - n)(2m + n)} = \frac{m^2 + n}{(2m - n)(2m + n)} $$ 2) Выполним деление, вынеся общий множитель $10m$ в знаменателе делителя: $$ \frac{m^2 + n}{(2m - n)(2m + n)} : \frac{m^2 + n}{10m(2m + n)} = \frac{m^2 + n}{(2m - n)(2m + n)} \cdot \frac{10m(2m + n)}{m^2 + n} = \frac{10m}{2m - n} $$ 3) Сложим полученный результат со слагаемым $\frac{5n}{n - 2m}$, изменив знак в знаменателе: $$ \frac{10m}{2m - n} + \frac{5n}{-(2m - n)} = \frac{10m}{2m - n} - \frac{5n}{2m - n} = \frac{10m - 5n}{2m - n} = \frac{5(2m - n)}{2m - n} = 5 $$ $5 = 5$. Тождество доказано. --- **б)** Докажем тождество: $$ \frac{5a}{5a + 3b} + \left( \frac{5a + 3b}{5a - 3b} - \frac{25a^2}{25a^2 - 9b^2} \right) \cdot \frac{5a - 3b}{10a + 3b} = 1 $$ 1) Выполним вычитание в скобках: $$ \frac{5a + 3b}{5a - 3b} - \frac{25a^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} = \frac{(5a + 3b)^2 - 25a^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{25a^2 + 30ab + 9b^2 - 25a^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} = \frac{30ab + 9b^2}{(5a - 3b)(5a + 3b)} = \frac{3b(10a + 3b)}{(5a - 3b)(5a + 3b)} $$ 2) Выполним умножение дробей: $$ \frac{3b(10a + 3b)}{(5a - 3b)(5a + 3b)} \cdot \frac{5a - 3b}{10a + 3b} = \frac{3b}{5a + 3b} $$ 3) Выполним сложение: $$ \frac{5a}{5a + 3b} + \frac{3b}{5a + 3b} = \frac{5a + 3b}{5a + 3b} = 1 $$ $1 = 1$. Тождество доказано. --- **в)** Докажем тождество: $$ \left( \frac{2a}{a^2 - 16} - \frac{4}{4 + a} \right) \cdot \frac{a + 4}{8 - a} + \frac{a^2}{32 - 8a} = -\frac{a + 4}{8} $$ 1) Преобразуем выражение в скобках: $$ \frac{2a}{(a - 4)(a + 4)} - \frac{4}{a + 4} = \frac{2a - 4(a - 4)}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{2a - 4a + 16}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{16 - 2a}{(a - 4)(a + 4)} = \frac{2(8 - a)}{(a - 4)(a + 4)} $$ 2) Выполним умножение на дробь $\frac{a + 4}{8 - a}$: $$ \frac{2(8 - a)}{(a - 4)(a + 4)} \cdot \frac{a + 4}{8 - a} = \frac{2}{a - 4} $$ 3) Преобразуем второе слагаемое и выполним сложение: $$ \frac{a^2}{32 - 8a} = \frac{a^2}{-8(a - 4)} = -\frac{a^2}{8(a - 4)} $$ $$ \frac{2}{a - 4} - \frac{a^2}{8(a - 4)} = \frac{16 - a^2}{8(a - 4)} = \frac{(4 - a)(4 + a)}{8(a - 4)} = \frac{-(a - 4)(a + 4)}{8(a - 4)} = -\frac{a + 4}{8} $$ $-\frac{a + 4}{8} = -\frac{a + 4}{8}$. Тождество доказано. --- **г)** Докажем тождество: $$ \frac{1}{x} \left( \frac{y^2 - xy}{x + y} \right)^2 \left( \frac{x + y}{(x - y)^2} + \frac{x + y}{xy - y^2} \right) + \frac{x}{x + y} = 1 $$ 1) Упростим выражение во второй скобке: $$ \frac{x + y}{(x - y)^2} + \frac{x + y}{y(x - y)} = \frac{(x + y) \cdot y + (x + y)(x - y)}{y(x - y)^2} = \frac{(x + y)(y + x - y)}{y(x - y)^2} = \frac{x(x + y)}{y(x - y)^2} $$ 2) Возведём первую скобку в квадрат: $$ \left( \frac{y(y - x)}{x + y} \right)^2 = \left( \frac{-y(x - y)}{x + y} \right)^2 = \frac{y^2 (x - y)^2}{(x + y)^2} $$ 3) Выполним умножение всех множителей первого слагаемого: $$ \frac{1}{x} \cdot \frac{y^2 (x - y)^2}{(x + y)^2} \cdot \frac{x(x + y)}{y(x - y)^2} = \frac{y}{x + y} $$ 4) Прибавим второе слагаемое: $$ \frac{y}{x + y} + \frac{x}{x + y} = \frac{x + y}{x + y} = 1 $$ $1 = 1$. Тождество доказано. --- **д)** Докажем тождество: $$ \frac{m}{m^2 - 2m + 1} - \frac{1}{1 - m} \cdot \frac{m}{m + 1} - \frac{2}{m + 1} = \frac{m}{(m - 1)^2} - \frac{m - 2}{m^2 - 1} $$ Преобразуем левую часть равенства. 1) Запишем знаменатель первой дроби по формуле квадрата разности, а во втором слагаемом вынесем знак «минус» из знаменателя: $$ \frac{m}{(m - 1)^2} - \left( -\frac{1}{m - 1} \right) \cdot \frac{m}{m + 1} - \frac{2}{m + 1} = \frac{m}{(m - 1)^2} + \frac{m}{(m - 1)(m + 1)} - \frac{2}{m + 1} $$ 2) Сгруппируем и упростим второе и третье слагаемые: $$ \frac{m}{(m - 1)(m + 1)} - \frac{2(m - 1)}{(m - 1)(m + 1)} = \frac{m - 2m + 2}{(m - 1)(m + 1)} = \frac{2 - m}{(m - 1)(m + 1)} = -\frac{m - 2}{m^2 - 1} $$ 3) Подставим полученную разность обратно в выражение левой части: $$ \frac{m}{(m - 1)^2} - \frac{m - 2}{m^2 - 1} $$ Левая часть совпала с правой частью. Тождество доказано. --- **е)** Докажем тождество: $$ \left( \frac{a}{b^2 + ab} - \frac{a - b}{a^2 + ab} \right) : \left( \frac{b^2}{a^3 - ab^2} + \frac{1}{a + b} \right) = \frac{a}{b} - 1 $$ 1) Преобразуем первую скобку: $$ \frac{a}{b(b + a)} - \frac{a - b}{a(a + b)} = \frac{a^2 - b(a - b)}{ab(a + b)} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab(a + b)} $$ 2) Преобразуем вторую скобку: $$ \frac{b^2}{a(a^2 - b^2)} + \frac{1}{a + b} = \frac{b^2}{a(a - b)(a + b)} + \frac{1}{a + b} = \frac{b^2 + a(a - b)}{a(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 - ab + b^2}{a(a - b)(a + b)} $$ 3) Выполним деление: $$ \frac{a^2 - ab + b^2}{ab(a + b)} : \frac{a^2 - ab + b^2}{a(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab(a + b)} \cdot \frac{a(a - b)(a + b)}{a^2 - ab + b^2} = \frac{a - b}{b} $$ 4) Представим полученную дробь в виде разности: $$ \frac{a - b}{b} = \frac{a}{b} - \frac{b}{b} = \frac{a}{b} - 1 $$ $\frac{a}{b} - 1 = \frac{a}{b} - 1$. Тождество доказано.