ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 957

### 957 **а)** Докажем тождество: $$ \left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x}\right) = x + y $$ Преобразуем левую часть равенства по действиям. 1) Выполним сложение в первой скобке (общий знаменатель $xy^2$): $$ \frac{x^2}{y^2} + \frac{y}{x} = \frac{x^2 \cdot x + y \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^3 + y^3}{xy^2} $$ 2) Выполним действия во второй скобке (общий знаменатель $xy^2$): $$ \frac{x}{y^2} - \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = \frac{x \cdot x - 1 \cdot xy + 1 \cdot y^2}{xy^2} = \frac{x^2 - xy + y^2}{xy^2} $$ 3) Разделим результат первого действия на результат второго действия, применив формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$: $$ \frac{x^3 + y^3}{xy^2} : \frac{x^2 - xy + y^2}{xy^2} = \frac{(x + y)(x^2 - xy + y^2)}{xy^2} \cdot \frac{xy^2}{x^2 - xy + y^2} = x + y $$ Получили $x + y = x + y$. Тождество доказано. --- **б)** Докажем тождество: $$ \left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) : \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2\right) : \left(1 + \frac{y}{x}\right) = \frac{x}{x - y} $$ Преобразуем каждую скобку в левой части: 1) В первой скобке: $$ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{(x - y)(x + y)}{xy} $$ 2) Во второй скобке: $$ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2 = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy} = \frac{(x - y)^2}{xy} $$ 3) В третьей скобке: $$ 1 + \frac{y}{x} = \frac{x + y}{x} $$ 4) Выполним последовательное деление: $$ \frac{(x - y)(x + y)}{xy} : \frac{(x - y)^2}{xy} : \frac{x + y}{x} = \frac{(x - y)(x + y)}{xy} \cdot \frac{xy}{(x - y)^2} \cdot \frac{x}{x + y} $$ Сократим дробь на множители $xy$, $(x + y)$ и $(x - y)$: $$ \frac{(x - y)(x + y) \cdot xy \cdot x}{xy \cdot (x - y)^2 \cdot (x + y)} = \frac{x}{x - y} $$ Получили $\frac{x}{x - y} = \frac{x}{x - y}$. Тождество доказано. --- **в)** Докажем тождество: $$ \left(m + 1 - \frac{1}{1 - m}\right) : \left(m - \frac{m^2}{m - 1}\right) = -m $$ Преобразуем выражения в скобках: 1) В первой скобке учтем, что $\frac{1}{1 - m} = -\frac{1}{m - 1}$: $$ m + 1 - \frac{1}{1 - m} = (m + 1) + \frac{1}{m - 1} = \frac{(m + 1)(m - 1) + 1}{m - 1} = \frac{m^2 - 1 + 1}{m - 1} = \frac{m^2}{m - 1} $$ 2) Во второй скобке приведем к общему знаменателю $(m - 1)$: $$ m - \frac{m^2}{m - 1} = \frac{m(m - 1) - m^2}{m - 1} = \frac{m^2 - m - m^2}{m - 1} = \frac{-m}{m - 1} $$ 3) Выполним деление: $$ \frac{m^2}{m - 1} : \frac{-m}{m - 1} = \frac{m^2}{m - 1} \cdot \frac{m - 1}{-m} = \frac{m^2}{-m} = -m $$ Получили $-m = -m$. Тождество доказано. --- **г)** Докажем тождество: $$ \left(a - \frac{4ab}{a + b} + b\right) : \left(\frac{a}{a + b} - \frac{b}{b - a} - \frac{2ab}{a^2 - b^2}\right) = a - b $$ 1) Преобразуем первую скобку: $$ a + b - \frac{4ab}{a + b} = \frac{(a + b)^2 - 4ab}{a + b} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 4ab}{a + b} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a + b} = \frac{(a - b)^2}{a + b} $$ 2) Преобразуем вторую скобку. Учтем, что $-\frac{b}{b - a} = \frac{b}{a - b}$, а общий знаменатель равен $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $$ \frac{a}{a + b} + \frac{b}{a - b} - \frac{2ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{a(a - b) + b(a + b) - 2ab}{(a - b)(a + b)} $$ Раскроем скобки в числителе: $$ \frac{a^2 - ab + ab + b^2 - 2ab}{(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{(a - b)^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{a - b}{a + b} $$ 3) Выполним деление: $$ \frac{(a - b)^2}{a + b} : \frac{a - b}{a + b} = \frac{(a - b)^2}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a - b} = a - b $$ Получили $a - b = a - b$. Тождество доказано.