ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 955

**а)** Для любого натурального $k$ справедливо тождество: $$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{(k+1) - k}{k(k+1)} = \frac{k+1}{k(k+1)} - \frac{k}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $$ Заметим, что в данном выражении число $n \ge 2$, так как при $n=1$ знаменатель последней дроби обратился бы в ноль. Представим каждое слагаемое суммы в виде разности двух дробей: $$ \frac{1}{1 \cdot 2} = 1 - \frac{1}{2} $$ $$ \frac{1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} $$ $$ \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $$ $$ \dots $$ $$ \frac{1}{(n-1) \cdot n} = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} $$ Подставим эти разности в исходную сумму: $$ \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n}\right) $$ Раскроем скобки: $$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \ldots + \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} $$ Все промежуточные слагаемые взаимно уничтожаются, и остаётся: $$ 1 - \frac{1}{n} $$ Так как $n \ge 2$, дробь $\frac{1}{n} > 0$. Вычитая из единицы положительное число, получаем: $$ 1 - \frac{1}{n} < 1 $$ Неравенство доказано. --- **б)** Для любого натурального $k$ проверим тождество: $$ \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{(2k+1) - (2k-1)}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2k-1} - \frac{1}{2k+1} \right) $$ Представим каждое слагаемое левой части неравенства с помощью этого тождества: $$ \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{2} \left(1 - \frac{1}{3}\right) $$ $$ \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) $$ $$ \frac{1}{5 \cdot 7} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) $$ $$ \dots $$ $$ \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) $$ Сложим полученные равенства и вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $$ \frac{1}{2} \left( \left(1 - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \ldots + \left(\frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n+1}\right) \right) $$ Внутри скобок все слагаемые, кроме первого и последнего, взаимно уничтожаются: $$ \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2n+1} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2(2n+1)} $$ Так как $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), знаменатель $2(2n+1) > 0$, а значит, дробь $\frac{1}{2(2n+1)} > 0$. Вычитая из $\frac{1}{2}$ положительное число, получаем: $$ \frac{1}{2} - \frac{1}{2(2n+1)} < \frac{1}{2} $$ Неравенство доказано.