ГДЗ по алгебре 7 класс Никольский номер - 956

а) Приведём дроби к общему знаменателю $x(x+1)(x+2)$, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(x+2)$, а второй — на $x$: $$ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2}{x(x+1)(x+2)} + \frac{x}{x(x+1)(x+2)} $$ Сложим числители: $$ \frac{x + 2 + x}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2x + 2}{x(x+1)(x+2)} $$ Вынесем общий множитель $2$ за скобки в числителе и сократим дробь на $(x+1)$: $$ \frac{2(x+1)}{x(x+1)(x+2)} = \frac{2}{x(x+2)} $$ Ответ: $\frac{2}{x(x+2)}$. б) Воспользуемся результатом пункта **а**, согласно которому сумма первых двух дробей равна $\frac{2}{x(x+2)}$: $$ \frac{1}{x(x+1)} + \frac{1}{(x+1)(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} = \frac{2}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+3)} $$ Приведём полученные дроби к общему знаменателю $x(x+2)(x+3)$, домножив первую дробь на $(x+3)$, а вторую — на $x$: $$ \frac{2(x+3)}{x(x+2)(x+3)} + \frac{x}{x(x+2)(x+3)} = \frac{2x + 6 + x}{x(x+2)(x+3)} = \frac{3x + 6}{x(x+2)(x+3)} $$ Вынесем общий множитель $3$ за скобки в числителе и сократим дробь на $(x+2)$: $$ \frac{3(x+2)}{x(x+2)(x+3)} = \frac{3}{x(x+3)} $$ Ответ: $\frac{3}{x(x+3)}$. в) Приведём дроби к общему знаменателю $x(x+2)(x+4)$, домножив числитель и знаменатель первой дроби на $(x+4)$, а второй — на $x$: $$ \frac{2}{x(x+2)} + \frac{2}{(x+2)(x+4)} = \frac{2(x+4)}{x(x+2)(x+4)} + \frac{2x}{x(x+2)(x+4)} $$ Сложим числители и раскроем скобки: $$ \frac{2x + 8 + 2x}{x(x+2)(x+4)} = \frac{4x + 8}{x(x+2)(x+4)} $$ Вынесем общий множитель $4$ за скобки в числителе и сократим дробь на $(x+2)$: $$ \frac{4(x+2)}{x(x+2)(x+4)} = \frac{4}{x(x+4)} $$ Ответ: $\frac{4}{x(x+4)}$. г) Выполним сложение последовательно. Сначала найдём сумму первых двух дробей, приведя их к общему знаменателю $x(x+2)(x+4)$: $$ \frac{1}{x(x+2)} + \frac{1}{(x+2)(x+4)} = \frac{x+4}{x(x+2)(x+4)} + \frac{x}{x(x+2)(x+4)} = \frac{2x + 4}{x(x+2)(x+4)} $$ Вынесем $2$ в числителе и сократим дробь на $(x+2)$: $$ \frac{2(x+2)}{x(x+2)(x+4)} = \frac{2}{x(x+4)} $$ Теперь к полученному результату прибавим третью дробь, приведя их к общему знаменателю $x(x+4)(x+6)$: $$ \frac{2}{x(x+4)} + \frac{1}{(x+4)(x+6)} = \frac{2(x+6) + x}{x(x+4)(x+6)} = \frac{2x + 12 + x}{x(x+4)(x+6)} = \frac{3x + 12}{x(x+4)(x+6)} $$ Вынесем общий множитель $3$ за скобки в числителе и сократим дробь на $(x+4)$: $$ \frac{3(x+4)}{x(x+4)(x+6)} = \frac{3}{x(x+6)} $$ Ответ: $\frac{3}{x(x+6)}$.