ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1569

Обозначим неизвестные цифры буквами $a$ и $b$, тогда искомое число имеет вид $\overline{2a4b}$, где $a$ и $b$ — цифры от $0$ до $9$. **a)** Число делится на $15$ тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на взаимно простые множители $3$ и $5$. 1. По признаку делимости на $5$ последняя цифра числа должна быть $0$ или $5$. Значит, $b = 0$ или $b = 5$. 2. По признаку делимости на $3$ сумма цифр числа должна делиться на $3$. Сумма цифр равна: $$ 2 + a + 4 + b = 6 + a + b $$ Рассмотрим возможные случаи: * Если $b = 0$, то сумма цифр равна $6 + a + 0 = 6 + a$. Сумма делится на $3$, если $a$ делится на $3$. Цифра $a$ может принимать значения: $0, 3, 6, 9$. Получаем числа: $2040, 2340, 2640, 2940$. * Если $b = 5$, то сумма цифр равна $6 + a + 5 = 11 + a$. Сумма делится на $3$, если $a$ равно $1$ ($11 + 1 = 12$), $4$ ($11 + 4 = 15$) или $7$ ($11 + 7 = 18$). Цифра $a$ может принимать значения: $1, 4, 7$. Получаем числа: $2145, 2445, 2745$. **Ответ к пункту a:** $2040, 2145, 2340, 2445, 2640, 2745, 2940$. --- **b)** Число делится на $36$ тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на взаимно простые множители $4$ и $9$. 1. По признаку делимости на $4$ число, образованное двумя последними цифрами ($\overline{4b}$), должно делиться на $4$. Числа вида $\overline{4b}$, кратные $4$: это $40, 44$ и $48$. Следовательно, $b$ может быть равно $0, 4$ или $8$. 2. По признаку делимости на $9$ сумма цифр числа должна делиться на $9$: $$ 2 + a + 4 + b = 6 + a + b $$ Рассмотрим найденные значения $b$: * Если $b = 0$, то сумма цифр равна $6 + a + 0 = 6 + a$. Сумма делится на $9$ при $a = 3$ ($6 + 3 = 9$). Получаем число: $2340$. * Если $b = 4$, то сумма цифр равна $6 + a + 4 = 10 + a$. Сумма делится на $9$ при $a = 8$ ($10 + 8 = 18$). Получаем число: $2844$. * Если $b = 8$, то сумма цифр равна $6 + a + 8 = 14 + a$. Сумма делится на $9$ при $a = 4$ ($14 + 4 = 18$). Получаем число: $2448$. **Ответ к пункту b:** $2340, 2448, 2844$.