ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1572

а) $xy = 11$ Число $11$ — простое, поэтому его можно представить в виде произведения двух целых чисел только четырьмя способами: $1 \cdot 11$, $11 \cdot 1$, $(-1) \cdot (-11)$ и $(-11) \cdot (-1)$. Рассмотрим соответствующие системы: 1) $\begin{cases} x = 1, \\ y = 11; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x = 11, \\ y = 1; \end{cases}$ 3) $\begin{cases} x = -1, \\ y = -11; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} x = -11, \\ y = -1. \end{cases}$ Ответ: $(1; 11), (11; 1), (-1; -11), (-11; -1)$. б) $(x - 1)(y - 2) = 11$ Так как $x$ и $y$ — целые числа, выражения $(x - 1)$ и $(y - 2)$ также являются целыми числами. Число $11$ раскладывается на два целых множителя следующими способами: 1) $\begin{cases} x - 1 = 1, \\ y - 2 = 11; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2, \\ y = 13; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x - 1 = 11, \\ y - 2 = 1; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 12, \\ y = 3; \end{cases}$ 3) $\begin{cases} x - 1 = -1, \\ y - 2 = -11; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0, \\ y = -9; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} x - 1 = -11, \\ y - 2 = -1; \end{cases} \implies \begin{cases} x = -10, \\ y = 1. \end{cases}$ Ответ: $(2; 13), (12; 3), (0; -9), (-10; 1)$. в) $xy - 2x - y = 9$ Разложим левую часть уравнения на множители способом группировки. Для этого вынесем общий множитель $x$ и добавим слагаемое $2$ к обеим частям уравнения: $$ x(y - 2) - y = 9 $$ $$ x(y - 2) - (y - 2) - 2 = 9 $$ $$ (x - 1)(y - 2) = 11 $$ Полученное уравнение совпадает с уравнением из пункта б). Множители $(x - 1)$ и $(y - 2)$ являются целыми делителями числа $11$: 1) $\begin{cases} x - 1 = 1, \\ y - 2 = 11; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2, \\ y = 13; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x - 1 = 11, \\ y - 2 = 1; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 12, \\ y = 3; \end{cases}$ 3) $\begin{cases} x - 1 = -1, \\ y - 2 = -11; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0, \\ y = -9; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} x - 1 = -11, \\ y - 2 = -1; \end{cases} \implies \begin{cases} x = -10, \\ y = 1. \end{cases}$ Ответ: $(2; 13), (12; 3), (0; -9), (-10; 1)$. г) $xy - 2x - y = 11$ Преобразуем левую часть уравнения аналогично пункту в): $$ x(y - 2) - (y - 2) - 2 = 11 $$ $$ (x - 1)(y - 2) = 13 $$ Число $13$ — простое. Его целыми делителями являются числа $1$, $13$, $-1$ и $-13$. Переберём все возможные варианты: 1) $\begin{cases} x - 1 = 1, \\ y - 2 = 13; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2, \\ y = 15; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x - 1 = 13, \\ y - 2 = 1; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 14, \\ y = 3; \end{cases}$ 3) $\begin{cases} x - 1 = -1, \\ y - 2 = -13; \end{cases} \implies \begin{cases} x = 0, \\ y = -11; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} x - 1 = -13, \\ y - 2 = -1; \end{cases} \implies \begin{cases} x = -12, \\ y = 1. \end{cases}$ Ответ: $(2; 15), (14; 3), (0; -11), (-12; 1)$.