ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1564

Так как числа $9$ и $11$ взаимно просты ($\text{НОД}(9, 11) = 1$) и $99 = 9 \cdot 11$, то число делится на $99$ тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на $9$ и на $11$. * Число делится на $9$, если сумма его цифр делится на $9$. * Число делится на $11$, если разность между суммой цифр, стоящих на нечётных местах, и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на $11$. --- **а) $121\,968$** 1. Проверим делимость на $9$: $$ 1 + 2 + 1 + 9 + 6 + 8 = 27 $$ Так как $27$ делится на $9$, то и число $121\,968$ делится на $9$. 2. Проверим делимость на $11$: * Сумма цифр на нечётных местах (1-я, 3-я, 5-я): $1 + 1 + 6 = 8$. * Сумма цифр на чётных местах (2-я, 4-я, 6-я): $2 + 9 + 8 = 19$. * Разность сумм: $8 - 19 = -11$. Так как $-11$ делится на $11$, то и число $121\,968$ делится на $11$. Поскольку число делится и на $9$, и на $11$, оно делится на $99$. **Ответ:** делится. --- **б) $1\,106\,424$** 1. Проверим делимость на $9$: $$ 1 + 1 + 0 + 6 + 4 + 2 + 4 = 18 $$ Так как $18$ делится на $9$, то и число $1\,106\,424$ делится на $9$. 2. Проверим делимость на $11$: * Сумма цифр на нечётных местах (1-я, 3-я, 5-я, 7-я): $1 + 0 + 4 + 4 = 9$. * Сумма цифр на чётных местах (2-я, 4-я, 6-я): $1 + 6 + 2 = 9$. * Разность сумм: $9 - 9 = 0$. Так как $0$ делится на $11$, то и число $1\,106\,424$ делится на $11$. Поскольку число делится и на $9$, и на $11$, оно делится на $99$. **Ответ:** делится. --- **в) $\underbrace{11\ldots1}_{27\text{ раз}}$** 1. Проверим делимость на $9$: $$ 1 \cdot 27 = 27 $$ Так как $27$ делится на $9$, то число делится на $9$. 2. Проверим делимость на $11$: Всего в записи числа $27$ цифр. Значит, на нечётных местах стоит $14$ единиц, а на чётных местах — $13$ единиц. * Сумма цифр на нечётных местах: $1 \cdot 14 = 14$. * Сумма цифр на чётных местах: $1 \cdot 13 = 13$. * Разность сумм: $14 - 13 = 1$. Так как $1$ не делится на $11$, то и само число не делится на $11$. Следовательно, число не делится на $99$. **Ответ:** не делится.