ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1553

По исходному тождеству: $$ \frac{1}{ab} = \frac{1}{a(a + b)} + \frac{1}{b(a + b)} $$ Чтобы представить дробь вида $\frac{1}{n}$ в виде суммы двух дробей, разложим знаменатель $n$ на множители $a$ и $b$ (так, что $n = ab$), найдем сумму $a + b$ и вычислим новые знаменатели $a(a + b)$ и $b(a + b)$. а) Представим знаменатель $6$ в виде произведения: $6 = 2 \cdot 3$. Пусть $a = 2$, $b = 3$. Тогда $a + b = 2 + 3 = 5$. Найдем знаменатели слагаемых: $$ a(a + b) = 2 \cdot 5 = 10 $$ $$ b(a + b) = 3 \cdot 5 = 15 $$ Применяя тождество, получаем: $$ \frac{1}{6} = \frac{1}{10} + \frac{1}{15} $$ *(Замечание: если выбрать разложение $6 = 1 \cdot 6$, то получится также верное равенство $\frac{1}{6} = \frac{1}{7} + \frac{1}{42}$)*. б) Представим знаменатель $7$ в виде произведения: $7 = 1 \cdot 7$. Пусть $a = 1$, $b = 7$. Тогда $a + b = 1 + 7 = 8$. Найдем знаменатели слагаемых: $$ a(a + b) = 1 \cdot 8 = 8 $$ $$ b(a + b) = 7 \cdot 8 = 56 $$ Применяя тождество, получаем: $$ \frac{1}{7} = \frac{1}{8} + \frac{1}{56} $$ в) Представим знаменатель $8$ в виде произведения: $8 = 2 \cdot 4$. Пусть $a = 2$, $b = 4$. Тогда $a + b = 2 + 4 = 6$. Найдем знаменатели слагаемых: $$ a(a + b) = 2 \cdot 6 = 12 $$ $$ b(a + b) = 4 \cdot 6 = 24 $$ Применяя тождество, получаем: $$ \frac{1}{8} = \frac{1}{12} + \frac{1}{24} $$ *(Замечание: при выборе $8 = 1 \cdot 8$ получаем $\frac{1}{8} = \frac{1}{9} + \frac{1}{72}$)*. г) Представим знаменатель $10$ в виде произведения: $10 = 2 \cdot 5$. Пусть $a = 2$, $b = 5$. Тогда $a + b = 2 + 5 = 7$. Найдем знаменатели слагаемых: $$ a(a + b) = 2 \cdot 7 = 14 $$ $$ b(a + b) = 5 \cdot 7 = 35 $$ Применяя тождество, получаем: $$ \frac{1}{10} = \frac{1}{14} + \frac{1}{35} $$ *(Замечание: при выборе $10 = 1 \cdot 10$ получаем $\frac{1}{10} = \frac{1}{11} + \frac{1}{110}$)*.