ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1552

Для доказательства сгруппируем слагаемые данной суммы попарно. В выражении $1^3 + 2^3 + \ldots + 98^3 + 99^3$ содержится 99 слагаемых. Объединим в пары слагаемые, равноотстоящие от концов суммы, а слагаемое $50^3$, стоящее посередине, оставим без пары: $$1^3 + 2^3 + \ldots + 98^3 + 99^3 = (1^3 + 99^3) + (2^3 + 98^3) + \ldots + (49^3 + 51^3) + 50^3$$ Всего получилось 49 пар и одно отдельное слагаемое $50^3$. Воспользуемся формулой суммы кубов: $$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$ Рассмотрим произвольную пару слагаемых вида $k^3 + (100 - k)^3$, где $k$ — целое число от $1$ до $49$: $$k^3 + (100 - k)^3 = (k + 100 - k)\bigl(k^2 - k(100 - k) + (100 - k)^2\bigr) = 100 \cdot \bigl(k^2 - k(100 - k) + (100 - k)^2\bigr)$$ Второй множитель является целым числом, а первый множитель равен $100$. Так как $100$ делится на $50$ ($100 = 50 \cdot 2$), то и значение каждой из 49 пар делится на $50$. Отдельно стоящее слагаемое $50^3$ также делится на $50$: $$50^3 = 50 \cdot 50^2$$ Так как каждое слагаемое в новой записи суммы (каждая из 49 пар и число $50^3$) делится на $50$, то и вся исходная сумма делится на $50$, что и требовалось доказать.