ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1550

а) Найдем остаток от деления числа $201^{102} + 102^{201}$ на 6. 1. Найдем остаток от деления первого слагаемого $201^{102}$ на 6: Разделим основание 201 на 6 с остатком: $$ 201 = 6 \cdot 33 + 3 $$ Остаток равен 3, то есть $201 \equiv 3 \pmod 6$. Рассмотрим степени числа 3 при делении на 6: $3^1 = 3 \equiv 3 \pmod 6$, $3^2 = 9 = 6 \cdot 1 + 3 \equiv 3 \pmod 6$, $3^3 = 27 = 6 \cdot 4 + 3 \equiv 3 \pmod 6$. Любая натуральная степень тройки при делении на 6 дает остаток 3. Следовательно: $$ 201^{102} \equiv 3^{102} \equiv 3 \pmod 6 $$ 2. Найдем остаток от деления второго слагаемого $102^{201}$ на 6: Разделим число 102 на 6: $$ 102 = 6 \cdot 17 $$ Число 102 делится на 6 без остатка ($102 \equiv 0 \pmod 6$). Значит, и любая его натуральная степень делится на 6 без остатка: $$ 102^{201} \equiv 0^{201} \equiv 0 \pmod 6 $$ 3. Сложим полученные остатки: $$ 201^{102} + 102^{201} \equiv 3 + 0 = 3 \pmod 6 $$ Остаток равен 3. б) Найдем остаток от деления числа $333^{12} + 222^{12}$ на 8. 1. Найдем остаток от деления первого слагаемого $333^{12}$ на 8: Разделим основание 333 на 8 с остатком: $$ 333 = 8 \cdot 41 + 5 $$ Остаток равен 5, то есть $333 \equiv 5 \pmod 8$. Возведем число 5 в квадрат: $5^2 = 25 = 8 \cdot 3 + 1$, значит, $5^2 \equiv 1 \pmod 8$. Используем свойства степеней: $$ 333^{12} \equiv 5^{12} = (5^2)^6 \equiv 1^6 = 1 \pmod 8 $$ 2. Найдем остаток от деления второго слагаемого $222^{12}$ на 8: Разложим число 222 на простые множители: $222 = 2 \cdot 111$. Тогда: $$ 222^{12} = (2 \cdot 111)^{12} = 2^{12} \cdot 111^{12} $$ Поскольку $2^{12} = (2^3)^4 = 8^4$, число $222^{12}$ содержит множитель $8^4$ и делится на 8 нацело. Значит: $$ 222^{12} \equiv 0 \pmod 8 $$ 3. Сложим полученные остатки: $$ 333^{12} + 222^{12} \equiv 1 + 0 = 1 \pmod 8 $$ Остаток равен 1. Ответ: а) 3; б) 1.