ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1549

а) Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа $2$: $2^1 = 2$ — оканчивается на $2$; $2^2 = 4$ — оканчивается на $4$; $2^3 = 8$ — оканчивается на $8$; $2^4 = 16$ — оканчивается на $6$; $2^5 = 32$ — оканчивается на $2$. Последние цифры повторяются с периодом $4$: $2, 4, 8, 6$. Разделим показатель степени $2010$ на длину периода: $$ 2010 = 4 \cdot 502 + 2 $$ Остаток равен $2$, следовательно, число $2^{2010}$ оканчивается на ту же цифру, что и $2^2$, то есть на $4$. б) Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа $3$: $3^1 = 3$ — оканчивается на $3$; $3^2 = 9$ — оканчивается на $9$; $3^3 = 27$ — оканчивается на $7$; $3^4 = 81$ — оканчивается на $1$; $3^5 = 243$ — оканчивается на $3$. Последние цифры повторяются с периодом $4$: $3, 9, 7, 1$. Разделим показатель степени $2010$ на длину периода: $$ 2010 = 4 \cdot 502 + 2 $$ Остаток равен $2$, следовательно, число $3^{2010}$ оканчивается на ту же цифру, что и $3^2$, то есть на $9$. в) Рассмотрим последовательность последних цифр степеней числа $9$: $9^1 = 9$ — оканчивается на $9$; $9^2 = 81$ — оканчивается на $1$; $9^3 = 729$ — оканчивается на $9$. Последние цифры повторяются с периодом $2$: $9, 1$. При нечётном показателе степени число оканчивается на $9$, а при чётном — на $1$. Так как показатель степени $2010$ — чётное число: $$ 2010 = 2 \cdot 1005 $$ число $9^{2010}$ оканчивается на $1$. Ответ: а) 4; б) 9; в) 1.