ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1541

а) Число $a$ является чётным, если оно делится на 2 без остатка (остаток равен 0): $$ a \equiv 0 \pmod 2 $$ б) Число $a$ при делении на 5 даёт в остатке 1: $$ a \equiv 1 \pmod 5 $$ в) Число $x$ кратно 3, то есть делится на 3 без остатка: $$ x \equiv 0 \pmod 3 $$ г) Пусть $a$ — нечётное число. Запись предложения с помощью знака сравнения: $$ a^2 - 1 \equiv 0 \pmod 8 \quad (\text{или } a^2 \equiv 1 \pmod 8) $$ **Доказательство:** 1. Так как $a$ — нечётное число, его можно представить в виде $a = 2k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$. 2. Запишем квадрат этого числа, уменьшенный на 1, и преобразуем полученное выражение: $$ a^2 - 1 = (2k + 1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k + 1 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k + 1) $$ 3. Множители $k$ и $k + 1$ являются двумя последовательными целыми числами, поэтому одно из них обязательно чётно (делится на 2). Значит, произведение $k(k + 1)$ кратно 2, то есть $k(k + 1) = 2m$, где $m \in \mathbb{Z}$. 4. Подставим это выражение в исходное: $$ a^2 - 1 = 4 \cdot 2m = 8m $$ Так как $a^2 - 1$ делится на 8 без остатка, то $a^2 - 1 \equiv 0 \pmod 8$, что и требовалось доказать.