ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1535

a) Для дроби $\frac{114}{133}$ найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя с помощью алгоритма Евклида: $$ 133 = 114 \cdot 1 + 19 $$ $$ 114 = 19 \cdot 6 + 0 $$ Последний ненулевой остаток равен $19$, следовательно: $\text{НОД}(114, 133) = 19$. Разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: $$ \frac{114}{133} = \frac{114 : 19}{133 : 19} = \frac{6}{7} $$ b) Для дроби $\frac{357}{1020}$ найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя с помощью алгоритма Евклида: $$ 1020 = 357 \cdot 2 + 306 $$ $$ 357 = 306 \cdot 1 + 51 $$ $$ 306 = 51 \cdot 6 + 0 $$ Последний ненулевой остаток равен $51$, следовательно: $\text{НОД}(357, 1020) = 51$. Разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: $$ \frac{357}{1020} = \frac{357 : 51}{1020 : 51} = \frac{7}{20} $$ c) Для дроби $\frac{253}{713}$ найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя с помощью алгоритма Евклида: $$ 713 = 253 \cdot 2 + 207 $$ $$ 253 = 207 \cdot 1 + 46 $$ $$ 207 = 46 \cdot 4 + 23 $$ $$ 46 = 23 \cdot 2 + 0 $$ Последний ненулевой остаток равен $23$, следовательно: $\text{НОД}(253, 713) = 23$. Разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: $$ \frac{253}{713} = \frac{253 : 23}{713 : 23} = \frac{11}{31} $$ d) Для дроби $\frac{205}{287}$ найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя с помощью алгоритма Евклида: $$ 287 = 205 \cdot 1 + 82 $$ $$ 205 = 82 \cdot 2 + 41 $$ $$ 82 = 41 \cdot 2 + 0 $$ Последний ненулевой остаток равен $41$, следовательно: $\text{НОД}(205, 287) = 41$. Разделим числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель: $$ \frac{205}{287} = \frac{205 : 41}{287 : 41} = \frac{5}{7} $$ Ответ: a) $\text{НОД}(114, 133) = 19$, дробь равна $\frac{6}{7}$; b) $\text{НОД}(357, 1020) = 51$, дробь равна $\frac{7}{20}$; c) $\text{НОД}(253, 713) = 23$, дробь равна $\frac{11}{31}$; d) $\text{НОД}(205, 287) = 41$, дробь равна $\frac{5}{7}$.