ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1533

Разложим данное выражение на множители, применив формулу разности квадратов: $$ ab(a^2 - b^2)(4a^2 - b^2) = ab(a - b)(a + b)(2a - b)(2a + b) $$ Так как $30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$, а числа 2, 3 и 5 попарно взаимно просты, достаточно доказать, что данное произведение делится на 2, на 3 и на 5 при любых целых $a$ и $b$. **1. Делимость на 2:** - Если хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ чётное, то множитель $a$ или $b$ делится на 2, а значит, и всё произведение делится на 2. - Если оба числа $a$ и $b$ нечётные, то их разность $(a - b)$ является чётным числом (разность двух нечётных чисел чётна), поэтому множитель $(a - b)$ делится на 2. Следовательно, выражение всегда делится на 2. **2. Делимость на 3:** Рассмотрим часть произведения $ab(a^2 - b^2)$: - Если хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ делится на 3, то всё произведение делится на 3. - Если ни $a$, ни $b$ не делятся на 3, то при делении на 3 они могут давать остатки 1 или 2. Квадрат любого целого числа, не делящегося на 3, при делении на 3 даёт остаток 1: - $1^2 = 1$; - $2^2 = 4 = 3 \cdot 1 + 1$. Значит, $a^2$ и $b^2$ дают одинаковые остатки при делении на 3, откуда разность $(a^2 - b^2)$ делится на 3. Следовательно, выражение всегда делится на 3. **3. Делимость на 5:** - Если хотя бы одно из чисел $a$ или $b$ делится на 5, то всё произведение делится на 5. - Пусть ни $a$, ни $b$ не делятся на 5. При делении на 5 целые числа могут давать остатки 1, 2, 3 или 4. Квадраты этих остатков: - $1^2 = 1$; - $2^2 = 4$; - $3^2 = 9 = 5 \cdot 1 + 4$ (остаток 4); - $4^2 = 16 = 5 \cdot 3 + 1$ (остаток 1). Таким образом, квадрат любого целого числа, не делящегося на 5, при делении на 5 даёт остаток либо 1, либо 4. Возможны два случая: 1. Числа $a^2$ и $b^2$ дают одинаковые остатки при делении на 5 (оба дают остаток 1 или оба дают 4). Тогда их разность $(a^2 - b^2)$ делится на 5. 2. Числа $a^2$ и $b^2$ дают разные остатки при делении на 5: - если $a^2$ даёт остаток 1, а $b^2$ даёт остаток 4, то $4a^2 - b^2$ даёт остаток $4 \cdot 1 - 4 = 0$, то есть делится на 5; - если $a^2$ даёт остаток 4, а $b^2$ даёт остаток 1, то $4a^2 - b^2$ даёт остаток $4 \cdot 4 - 1 = 15$, что также делится на 5. Следовательно, выражение всегда делится на 5. Так как произведение делится на 2, на 3 и на 5, оно делится и на их произведение: $$ 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 $$ Что и требовалось доказать.