ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1530

а) Разложим выражение $a^4 - 1$ на множители по формуле разности квадратов: $$ a^4 - 1 = (a^2 - 1)(a^2 + 1) $$ При делении целого числа на 5 возможны остатки 0, 1, 2, 3 или 4. Так как по условию число $a$ не делится на 5 (остаток не равен 0), его можно представить в одном из двух видов: $a = 5k \pm 1$ или $a = 5k \pm 2$, где $k$ — целое число. Рассмотрим оба случая: 1. Пусть $a = 5k \pm 1$. Подставим это значение в первый множитель: $$ a^2 - 1 = (5k \pm 1)^2 - 1 = 25k^2 \pm 10k + 1 - 1 = 25k^2 \pm 10k = 5(5k^2 \pm 2k) $$ Полученное выражение делится на 5, так как содержит множитель 5, а выражение в скобках является целым числом. 2. Пусть $a = 5k \pm 2$. Подставим это значение во второй множитель: $$ a^2 + 1 = (5k \pm 2)^2 + 1 = 25k^2 \pm 20k + 4 + 1 = 25k^2 \pm 20k + 5 = 5(5k^2 \pm 4k + 1) $$ Полученное выражение также делится на 5. Таким образом, при любом целом $a$, не кратном 5, хотя бы один из множителей $(a^2 - 1)$ или $(a^2 + 1)$ делится на 5. Следовательно, их произведение $a^4 - 1$ делится на 5, что и требовалось доказать. б) Разложим выражение $a^6 - 1$ на множители как разность квадратов: $$ a^6 - 1 = (a^3 - 1)(a^3 + 1) $$ При делении целого числа на 7 возможны остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Так как число $a$ не делится на 7, его можно представить в виде: $a = 7k \pm 1$, $a = 7k \pm 2$ или $a = 7k \pm 3$, где $k$ — целое число. Рассмотрим все возможные случаи: 1. Пусть $a = 7k \pm 1$. Разложим $a^6 - 1$ другим способом: $a^6 - 1 = (a^2 - 1)(a^4 + a^2 + 1)$. Тогда: $$ a^2 - 1 = (7k \pm 1)^2 - 1 = 49k^2 \pm 14k + 1 - 1 = 7(7k^2 \pm 2k) $$ Множитель $a^2 - 1$ делится на 7, а значит, и всё произведение $a^6 - 1$ делится на 7. 2. Пусть $a = 7k \pm 2$. Используем формулу куба двучлена $(x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3$: $$ a^3 = (7k \pm 2)^3 = (7k)^3 \pm 3 \cdot (7k)^2 \cdot 2 + 3 \cdot 7k \cdot 2^2 \pm 2^3 = 7M \pm 8 $$ где $M$ — некоторое целое число (так как первые три слагаемых делятся на 7). - Если $a = 7k + 2$, то: $$ a^3 - 1 = (7M + 8) - 1 = 7M + 7 = 7(M + 1) $$ Множитель $(a^3 - 1)$ делится на 7. - Если $a = 7k - 2$, то: $$ a^3 + 1 = (7M - 8) + 1 = 7M - 7 = 7(M - 1) $$ Множитель $(a^3 + 1)$ делится на 7. 3. Пусть $a = 7k \pm 3$. Аналогично применим формулу куба двучлена: $$ a^3 = (7k \pm 3)^3 = (7k)^3 \pm 3 \cdot (7k)^2 \cdot 3 + 3 \cdot 7k \cdot 3^2 \pm 3^3 = 7N \pm 27 $$ где $N$ — некоторое целое число. - Если $a = 7k + 3$, то: $$ a^3 + 1 = (7N + 27) + 1 = 7N + 28 = 7(N + 4) $$ Множитель $(a^3 + 1)$ делится на 7. - Если $a = 7k - 3$, то: $$ a^3 - 1 = (7N - 27) - 1 = 7N - 28 = 7(N - 4) $$ Множитель $(a^3 - 1)$ делится на 7. В каждом из рассмотренных случаев хотя бы один из множителей $(a^3 - 1)$ или $(a^3 + 1)$ делится на 7. Следовательно, их произведение $a^6 - 1$ делится на 7, что и требовалось доказать.