ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1531

Пусть данное целое число равно $a$. Так как по условию число $a$ не делится на 7, то при делении на 7 оно может давать остатки 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Следовательно, любое такое число можно представить в одном из следующих видов: $a = 7k \pm 1$, $a = 7k \pm 2$ или $a = 7k \pm 3$, где $k$ — целое число. Рассмотрим каждый из возможных случаев, применив формулу куба суммы и разности: $$ (x \pm y)^3 = x^3 \pm 3x^2y + 3xy^2 \pm y^3 $$ 1) Пусть $a = 7k \pm 1$. Возведём число в куб: $$ a^3 = (7k \pm 1)^3 = 343k^3 \pm 147k^2 + 21k \pm 1 = 7(49k^3 \pm 21k^2 + 3k) \pm 1 $$ Обозначим целое число $49k^3 \pm 21k^2 + 3k$ через $m$. Тогда $a^3 = 7m \pm 1$: - если $a = 7k + 1$, то $a^3 = 7m + 1$, откуда $a^3 - 1 = 7m$ — делится на 7; - если $a = 7k - 1$, то $a^3 = 7m - 1$, откуда $a^3 + 1 = 7m$ — делится на 7. 2) Пусть $a = 7k \pm 2$. Возведём число в куб: $$ a^3 = (7k \pm 2)^3 = 343k^3 \pm 294k^2 + 84k \pm 8 $$ Представим $\pm 8$ как $\pm 7 \pm 1$: $$ a^3 = 7(49k^3 \pm 42k^2 + 12k \pm 1) \pm 1 $$ Обозначим целое выражение в скобках через $m$. Тогда $a^3 = 7m \pm 1$: - если $a = 7k + 2$, то $a^3 = 7m + 1$, откуда $a^3 - 1 = 7m$ — делится на 7; - если $a = 7k - 2$, то $a^3 = 7m - 1$, откуда $a^3 + 1 = 7m$ — делится на 7. 3) Пусть $a = 7k \pm 3$. Возведём число в куб: $$ a^3 = (7k \pm 3)^3 = 343k^3 \pm 441k^2 + 189k \pm 27 $$ Представим $\pm 27$ как $\pm 28 \mp 1$: $$ a^3 = 7(49k^3 \pm 63k^2 + 27k \pm 4) \mp 1 $$ Обозначим целое выражение в скобках через $m$. Тогда $a^3 = 7m \mp 1$: - если $a = 7k + 3$, то $a^3 = 7m - 1$, откуда $a^3 + 1 = 7m$ — делится на 7; - если $a = 7k - 3$, то $a^3 = 7m + 1$, откуда $a^3 - 1 = 7m$ — делится на 7. Таким образом, для любого целого числа $a$, не делящегося на 7, его куб при делении на 7 дает в остатке либо 1, либо 6 (что равносильно остатку $-1$). Это означает, что либо $a^3 - 1$ делится на 7, либо $a^3 + 1$ делится на 7, что и требовалось доказать.