ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1526

При делении целого числа на 3 возможны три остатка: 0, 1 или 2. По условию задачи остатки чисел $a$ и $b$ при делении на 3 одинаковы и не равны нулю. Значит, возможны два случая: либо оба числа дают остаток 1, либо оба числа дают остаток 2. **Случай 1.** Остаток при делении на 3 равен 1. Тогда числа $a$ и $b$ можно представить в виде: $a = 3k + 1$ и $b = 3m + 1$, где $k$ и $m$ — целые числа. Составим выражение $ab - 1$: $$ ab - 1 = (3k + 1)(3m + 1) - 1 $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ ab - 1 = 9km + 3k + 3m + 1 - 1 = 9km + 3k + 3m $$ Вынесем общий множитель 3 за скобки: $$ ab - 1 = 3(3km + k + m) $$ Так как $k$ и $m$ — целые числа, выражение $(3km + k + m)$ также является целым числом. Значит, произведение $3(3km + k + m)$ делится на 3, то есть $ab - 1$ делится на 3. **Случай 2.** Остаток при делении на 3 равен 2. Тогда числа $a$ и $b$ можно представить в виде: $a = 3k + 2$ и $b = 3m + 2$, где $k$ и $m$ — целые числа. Составим выражение $ab - 1$: $$ ab - 1 = (3k + 2)(3m + 2) - 1 $$ Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые: $$ ab - 1 = 9km + 6k + 6m + 4 - 1 = 9km + 6k + 6m + 3 $$ Вынесем общий множитель 3 за скобки: $$ ab - 1 = 3(3km + 2k + 2m + 1) $$ Так как выражение в скобках $(3km + 2k + 2m + 1)$ является целым числом, то и число $ab - 1$ делится на 3. Таким образом, в обоих случаях число $ab - 1$ делится на 3. Что и требовалось доказать.