ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень упражнение - 1525

Пусть данное число равно $a$. Так как при делении на $5$ число $a$ даёт остаток $2$, его можно записать в виде: $$ a = 5k + 2 $$ где $k$ — целое неотрицательное число. Число $k$ при делении на $3$ может давать остаток $0$, $1$ или $2$. Рассмотрим эти три случая: 1) Если $k = 3n$ (где $n$ — целое неотрицательное число), то: $$ a = 5 \cdot (3n) + 2 = 15n + 2 = 3 \cdot (5n) + 2 $$ В этом случае остаток от деления числа $a$ на $3$ равен $2$, что противоречит условию задачи. 2) Если $k = 3n + 1$, то: $$ a = 5 \cdot (3n + 1) + 2 = 15n + 5 + 2 = 15n + 7 $$ Проверим остаток от деления на $3$: $$ 15n + 7 = 15n + 6 + 1 = 3 \cdot (5n + 2) + 1 $$ Остаток равен $1$, что полностью соответствует условию. 3) Если $k = 3n + 2$, то: $$ a = 5 \cdot (3n + 2) + 2 = 15n + 10 + 2 = 15n + 12 = 3 \cdot (5n + 4) $$ В этом случае число делится на $3$ нацело (остаток равен $0$), что также не подходит. Таким образом, число $a$ имеет вид: $$ a = 15n + 7 $$ где $n$ — целое число, а $0 \le 7 < 15$. Следовательно, при делении этого числа на $15$ получается остаток $7$. Ответ: 7.