ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень вопросы и задания - §4

1. **Определение степени с натуральным показателем:** Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$, большим 1, называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$: $$ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ множителей}} $$ Степенью числа $a$ с показателем 1 называется само число $a$: $a^1 = a$. Вычислим значение выражения: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$. В выражении $3^4$: * число 3 называется **основанием степени**; * число 4 называется **показателем степени**. 2. Знак значения выражения $a^n$, где $n \in \mathbb{N}$: а) если $a$ равно нулю, то $0^n = 0$ — значение равно **нулю**; б) если $a$ — положительное число, то $a^n > 0$ — значение является **положительным числом**; в) если $a$ — отрицательное число и $n$ — чётное число, то $a^n > 0$ — значение является **положительным числом**; г) если $a$ — отрицательное число и $n$ — нечётное число, то $a^n < 0$ — значение является **отрицательным числом**. 3. **Порядок действий:** Если в числовом выражении отсутствуют скобки, то сначала выполняются действия возведения в степень, затем действия второй ступени (умножение и деление), а после этого действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо. Вычислим значение выражения: $$ -5 \cdot (-2)^3 - (-1)^{11} = -5 \cdot (-8) - (-1) = 40 - (-1) = 40 + 1 = 41 $$ Ответ: $41$. 4. **Основное свойство степени:** Для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ справедливо равенство: $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$ *Формулировка:* при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают. *Доказательство:* По определению степени с натуральным показателем выражение $a^m$ представляет собой произведение $m$ множителей, каждый из которых равен $a$, а выражение $a^n$ — произведение $n$ таких же множителей: $$ a^m \cdot a^n = \underbrace{(a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)}_{m \text{ множителей}} \cdot \underbrace{(a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)}_{n \text{ множителей}} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{(m+n) \text{ множителей}} = a^{m+n} $$ Свойство доказано. Представим произведение в виде степени: $$ x^7 \cdot x^3 = x^{7+3} = x^{10} $$ 5. **Правило деления степеней с одинаковыми основаниями:** При делении степеней с одинаковыми основаниями (при условии, что основание не равно нулю) основание оставляют прежним, а из показателя делимого вычитают показатель делителя: $$ a^m : a^n = a^{m-n}, \quad \text{где } a \neq 0, \; m > n $$ Найдем значение частного: $$ 2^7 : 2^5 = 2^{7-5} = 2^2 = 4 $$ Ответ: $4$. 6. **Определение степени с нулевым показателем:** Степенью любого отличного от нуля числа $a$ с нулевым показателем называется единица: $$ a^0 = 1 \quad (a \neq 0) $$ Выражение $0^0$ значения не имеет (не определено).