ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень вопросы и задания - §2

1. Компоненты арифметических действий действительных чисел: * **Сложение:** компоненты действия — слагаемые, результат действия — сумма. *Пример:* в равенстве $3{,}2 + 4{,}5 = 7{,}7$ числа $3{,}2$ и $4{,}5$ — слагаемые, а $7{,}7$ — сумма. * **Вычитание:** компонент, из которого вычитают — уменьшаемое; компонент, который вычитают — вычитаемое; результат действия — разность. *Пример:* в равенстве $9{,}6 - 5{,}1 = 4{,}5$ число $9{,}6$ — уменьшаемое, $5{,}1$ — вычитаемое, а $4{,}5$ — разность. * **Умножение:** компоненты действия — множители, результат действия — произведение. *Пример:* в равенстве $-2{,}5 \cdot 4 = -10$ числа $-2{,}5$ и $4$ — множители, а $-10$ — произведение. * **Деление:** компонент, который делят — делимое; компонент, на который делят — делитель (отличный от нуля); результат действия — частное. *Пример:* в равенстве $15 : (-3) = -5$ число $15$ — делимое, $-3$ — делитель, а $-5$ — частное. --- 2. Примеры чисел: * **Натуральные числа:** $1, 2, 7, 25, 100$. * **Целые числа:** $-15, -3, 0, 4, 18$. * **Рациональные числа:** $-6, -\dfrac{3}{7}, 0, 2{,}75, 0{,}(3)$. * **Иррациональные числа:** $\sqrt{2}, -\sqrt{5}, \pi, 0{,}1010010001\dots$ (бесконечные непериодические десятичные дроби). * **Действительные числа:** любое рациональное или иррациональное число, например, $-12, 0, \dfrac{5}{8}, \sqrt{3}, \pi$. --- 3. **Доказательство:** Рассмотрим сумму противоположных чисел $1$ и $-1$: $$ 1 + (-1) = 0 $$ Умножим обе части равенства на $(-1)$: $$ (-1) \cdot (1 + (-1)) = (-1) \cdot 0 $$ Так как произведение любого числа и нуля равно нулю, в правой части получаем $0$: $$ (-1) \cdot (1 + (-1)) = 0 $$ Применим распределительное свойство умножения к левой части: $$ (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 0 $$ По свойству умножения на единицу $(-1) \cdot 1 = -1$: $$ -1 + (-1) \cdot (-1) = 0 $$ Прибавим к обеим частям равенства число $1$: $$ 1 + (-1) + (-1) \cdot (-1) = 1 + 0 $$ Так как $1 + (-1) = 0$, получаем: $$ (-1) \cdot (-1) = 1 $$ Равенство доказано. --- 4. Да, сумма двух иррациональных чисел может быть рациональным числом. *Пример:* Возьмем два иррациональных числа: $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$ (или $2 + \sqrt{3}$ и $2 - \sqrt{3}$). Их сумма: $$ \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 $$ Число $0$ является целым, а значит, и рациональным. Другой пример: $$ (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 2 + 2 = 4 $$ Число $4$ является натуральным, а значит, и рациональным.