ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Углубленный уровень вопросы и задания - §7

1. **Правила раскрытия скобок:** а) Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, стоящего в скобках. б) Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, стоящего в скобках, на противоположный. Упростим выражение: $$ (2a + b) + (a - b) - (3a - b) $$ Раскроем скобки по правилам: $$ 2a + b + a - b - 3a + b $$ Приведём подобные слагаемые: $$ (2a + a - 3a) + (b - b + b) = 0 \cdot a + b = b $$ **Ответ:** $b$. --- 2. **Правила заключения в скобки:** — Чтобы заключить слагаемые в скобки со знаком «плюс» перед ними, нужно записать их в скобках с теми же знаками. — Чтобы заключить слагаемые в скобки со знаком «минус» перед ними, нужно записать их в скобках с противоположными знаками. В многочлене $a^4 + 3a^2 - 2a + 3$ двумя последними членами являются $-2a$ и $+3$. Заключим их в скобки: а) со знаком «плюс» перед скобками: $$ a^4 + 3a^2 + (-2a + 3) $$ б) со знаком «минус» перед скобками: $$ a^4 + 3a^2 - (2a - 3) $$ --- 3. **Правило умножения одночлена на многочлен:** Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Выполним умножение одночлена $2a^2b$ на многочлен $a^2 - ab + b$: $$ 2a^2b \cdot (a^2 - ab + b) = 2a^2b \cdot a^2 - 2a^2b \cdot ab + 2a^2b \cdot b = 2a^4b - 2a^3b^2 + 2a^2b^2 $$ **Ответ:** $2a^4b - 2a^3b^2 + 2a^2b^2$. --- 4. **Правило умножения многочленов:** Чтобы умножить многочлен на многочлен, нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные произведения сложить. Выполним умножение многочлена $2x^2 + 3x - 1$ на двучлен $4x - 3$: $$ (2x^2 + 3x - 1)(4x - 3) = 2x^2 \cdot 4x + 2x^2 \cdot (-3) + 3x \cdot 4x + 3x \cdot (-3) - 1 \cdot 4x - 1 \cdot (-3) $$ $$ = 8x^3 - 6x^2 + 12x^2 - 9x - 4x + 3 $$ Приведём подобные слагаемые: $$ 8x^3 + (-6x^2 + 12x^2) + (-9x - 4x) + 3 = 8x^3 + 6x^2 - 13x + 3 $$ Определим характеристики полученного многочлена $8x^3 + 6x^2 - 13x + 3$: — **Степень:** $3$ (наибольший показатель степени переменной $x$); — **Старший коэффициент:** $8$ (коэффициент при члене с наибольшей степенью переменной, то есть при $x^3$); — **Свободный член:** $3$ (член многочлена, не содержащий переменную). **Ответ:** произведение равно $8x^3 + 6x^2 - 13x + 3$; степень равна $3$, старший коэффициент равен $8$, свободный член равен $3$.