ГДЗ по математике 5 класс Абылкасымова упражнение - 190

**1)** Пусть дано трехзначное число $\overline{abc}$, где $a$, $b$ и $c$ — его цифры ($a \neq 0$). Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, имеет вид $\overline{cba}$. Приписав его к исходному числу, получим шестизначное число $\overline{abccba}$. Разложим полученное шестизначное число по разрядным слагаемым: $$ \overline{abccba} = 100\,000a + 10\,000b + 1\,000c + 100c + 10b + a $$ Сгруппируем слагаемые с одинаковыми буквами: $$ \overline{abccba} = (100\,000a + a) + (10\,000b + 10b) + (1\,000c + 100c) $$ $$ \overline{abccba} = 100\,001a + 10\,010b + 1\,100c $$ Проверим делимость каждого числового коэффициента на $11$: - $100\,001 : 11 = 9091$; - $10\,010 : 11 = 910$; - $1\,100 : 11 = 100$. Вынесем общий множитель $11$ за скобки: $$ \overline{abccba} = 11 \cdot (9091a + 910b + 100c) $$ Так как один из множителей равен $11$, то и всё произведение делится на $11$. Утверждение доказано. --- **2)** Любое натуральное число можно представить в виде суммы сотен и двузначного числа, образованного его последними двумя цифрами: $$ N = 100 \cdot k + b $$ где $k$ — количество сотен в числе, а $b$ — число, образованное двумя последними цифрами. Так как число $100$ делится и на $4$ ($100 : 4 = 25$), и на $25$ ($100 : 25 = 4$), слагаемое $100 \cdot k$ всегда кратно и числу $4$, и числу $25$. Следовательно, делимость всего числа зависит только от слагаемого $b$. - **Признак делимости на 4:** число делится на $4$ тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на $4$ (или оканчивается на два нуля). - **Признак делимости на 25:** число делится на $25$ тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его последними цифрами, делится на $25$ (то есть оканчивается на $00$, $25$, $50$ или $75$). Проверим заданные числа: **Делимость на 4:** - $328$: оканчивается на $28$; $28 : 4 = 7$ — делится; - $425$: оканчивается на $25$; не делится; - $554$: оканчивается на $54$; не делится; - $196$: оканчивается на $96$; $96 : 4 = 24$ — делится; - $775$: оканчивается на $75$; не делится; - $7\,589\,360$: оканчивается на $60$; $60 : 4 = 15$ — делится; - $5000$: оканчивается на $00$ — делится; - $2350$: оканчивается на $50$; не делится; - $9100$: оканчивается на $00$ — делится. **Делимость на 25:** - $328$: оканчивается на $28$ — не делится; - $425$: оканчивается на $25$ — делится; - $554$: оканчивается на $54$ — не делится; - $196$: оканчивается на $96$ — не делится; - $775$: оканчивается на $75$ — делится; - $7\,589\,360$: оканчивается на $60$ — не делится; - $5000$: оканчивается на $00$ — делится; - $2350$: оканчивается на $50$ — делится; - $9100$: оканчивается на $00$ — делится. **Ответ:** Делятся на $4$: $328$; $196$; $7\,589\,360$; $5000$; $9100$. Делятся на $25$: $425$; $775$; $5000$; $2350$; $9100$.