ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-7. вариант - 3

### 1. Вычислите: **а)** $(121^{\frac{1}{2}} + 128^{\frac{5}{7}} - 81^{\frac{1}{4}}) \cdot 125^{-\frac{1}{3}}$ Вычислим значение каждой степени: 1) $121^{\frac{1}{2}} = \sqrt{121} = 11$; 2) $128^{\frac{5}{7}} = (2^7)^{\frac{5}{7}} = 2^{7 \cdot \frac{5}{7}} = 2^5 = 32$; 3) $81^{\frac{1}{4}} = (3^4)^{\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 3^1 = 3$; 4) $125^{-\frac{1}{3}} = (5^3)^{-\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} = 5^{-1} = \frac{1}{5}$. Выполним действия в скобках: $$ 11 + 32 - 3 = 40 $$ Умножим полученный результат на $125^{-\frac{1}{3}}$: $$ 40 \cdot \frac{1}{5} = 8 $$ **Ответ:** $8$ --- **б)** $\frac{\left(32^{0,7} \cdot \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{3}}\right)^{0,6}}{8^{0,1}}$ Представим все числа в виде степеней с основанием $2$: 1) $32^{0,7} = (2^5)^{0,7} = 2^{5 \cdot 0,7} = 2^{3,5}$; 2) $\left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{3}} = (2^{-6})^{\frac{1}{3}} = 2^{-6 \cdot \frac{1}{3}} = 2^{-2}$; 3) $8^{0,1} = (2^3)^{0,1} = 2^{3 \cdot 0,1} = 2^{0,3}$. Преобразуем выражение в числителе: $$ 32^{0,7} \cdot \left(\frac{1}{64}\right)^{\frac{1}{3}} = 2^{3,5} \cdot 2^{-2} = 2^{3,5 + (-2)} = 2^{1,5} $$ Возведем полученное выражение в степень $0,6$: $$ (2^{1,5})^{0,6} = 2^{1,5 \cdot 0,6} = 2^{0,9} $$ Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{2^{0,9}}{2^{0,3}} = 2^{0,9 - 0,3} = 2^{0,6} = 2^{\frac{3}{5}} = \sqrt[5]{2^3} = \sqrt[5]{8} $$ *(Примечание: если в условии в показателе степени дроби $\frac{1}{64}$ содержится знак «минус», то есть $\left(\frac{1}{64}\right)^{-\frac{1}{3}} = 2^2$, тогда в числителе получаем $(2^{3,5} \cdot 2^2)^{0,6} = (2^{5,5})^{0,6} = 2^{3,3}$, а значение всей дроби равно $\frac{2^{3,3}}{2^{0,3}} = 2^{3} = 8$.)* **Ответ:** $2^{0,6}$ (или $\sqrt[5]{8}$) --- ### 2. Упростите выражение: **а)** $(81a^{-8})^{-\frac{3}{4}}$ Применим свойство степени произведения $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ и степени степени $(x^n)^m = x^{n \cdot m}$: $$ (81a^{-8})^{-\frac{3}{4}} = 81^{-\frac{3}{4}} \cdot (a^{-8})^{-\frac{3}{4}} $$ Представим $81$ как $3^4$: $$ 81^{-\frac{3}{4}} = (3^4)^{-\frac{3}{4}} = 3^{4 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)} = 3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27} $$ Упростим множитель с переменной $a$ (при $a \neq 0$): $$ (a^{-8})^{-\frac{3}{4}} = a^{(-8) \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)} = a^6 $$ Перемножим результаты: $$ \frac{1}{27} \cdot a^6 = \frac{a^6}{27} $$ **Ответ:** $\frac{a^6}{27}$ --- **б)** $\frac{x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{1}{10}}}{(x^{0,5})^{-3}}$ Упростим числитель дроби, используя свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями (при $x > 0$): $$ x^{\frac{2}{5}} \cdot x^{\frac{1}{10}} = x^{\frac{2}{5} + \frac{1}{10}} = x^{\frac{4}{10} + \frac{1}{10}} = x^{\frac{5}{10}} = x^{\frac{1}{2}} = x^{0,5} $$ Упростим знаменатель дроби: $$ (x^{0,5})^{-3} = x^{0,5 \cdot (-3)} = x^{-1,5} $$ Выполним деление: $$ \frac{x^{0,5}}{x^{-1,5}} = x^{0,5 - (-1,5)} = x^{0,5 + 1,5} = x^2 $$ **Ответ:** $x^2$