ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-7. вариант - 4

**1. Вычислите:** а) $361^{-\frac{1}{2}} \cdot \left(216^{\frac{1}{3}} + 343^{\frac{2}{3}} - 125^{\frac{1}{3}}\right)$ Вычислим значение каждой степени: 1. $361^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{361^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{361}} = \frac{1}{19}$ 2. $216^{\frac{1}{3}} = (6^3)^{\frac{1}{3}} = 6^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 6^1 = 6$ 3. $343^{\frac{2}{3}} = (7^3)^{\frac{2}{3}} = 7^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 7^2 = 49$ 4. $125^{\frac{1}{3}} = (5^3)^{\frac{1}{3}} = 5^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 5^1 = 5$ Выполним действия в скобках: $$ 6 + 49 - 5 = 55 - 5 = 50 $$ Найдем произведение: $$ \frac{1}{19} \cdot 50 = \frac{50}{19} = 2\frac{12}{19} $$ Ответ: $2\frac{12}{19}$ б) $\frac{27^{0,7}}{\left(9^{0,6} \cdot 81^{-\frac{1}{4}}\right)^{0,5}}$ Представим все числа в виде степеней с основанием $3$: 1. Числитель: $$ 27^{0,7} = (3^3)^{0,7} = 3^{3 \cdot 0,7} = 3^{2,1} $$ 2. Выражение в скобках в знаменателе: $$ 9^{0,6} = (3^2)^{0,6} = 3^{1,2} $$ $$ 81^{-\frac{1}{4}} = (3^4)^{-\frac{1}{4}} = 3^{4 \cdot \left(-\frac{1}{4}\right)} = 3^{-1} $$ $$ 9^{0,6} \cdot 81^{-\frac{1}{4}} = 3^{1,2} \cdot 3^{-1} = 3^{1,2 - 1} = 3^{0,2} $$ 3. Знаменатель полностью: $$ (3^{0,2})^{0,5} = 3^{0,2 \cdot 0,5} = 3^{0,1} $$ 4. Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{3^{2,1}}{3^{0,1}} = 3^{2,1 - 0,1} = 3^2 = 9 $$ Ответ: $9$ --- **2. Упростите выражение:** а) $(64a^{-9})^{-\frac{2}{3}}$ Применим свойство степени произведения $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$: $$ (64a^{-9})^{-\frac{2}{3}} = 64^{-\frac{2}{3}} \cdot (a^{-9})^{-\frac{2}{3}} $$ Преобразуем числовой множитель, представив $64$ как $4^3$: $$ 64^{-\frac{2}{3}} = (4^3)^{-\frac{2}{3}} = 4^{3 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16} $$ Преобразуем буквенный множитель, перемножив показатели: $$ (a^{-9})^{-\frac{2}{3}} = a^{-9 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)} = a^6 $$ Перемножим полученные результаты: $$ \frac{1}{16} \cdot a^6 = \frac{a^6}{16} $$ Ответ: $\frac{a^6}{16}$ б) $\frac{\left(a^{2,5} \cdot a^{-\frac{1}{6}}\right)^{\frac{1}{3}}}{a^{-\frac{1}{9}}}$ 1. Упростим выражение под степенью в числителе: $$ a^{2,5} \cdot a^{-\frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{2}} \cdot a^{-\frac{1}{6}} = a^{\frac{5}{2} - \frac{1}{6}} = a^{\frac{15}{6} - \frac{1}{6}} = a^{\frac{14}{6}} = a^{\frac{7}{3}} $$ 2. Возведем полученное выражение в степень $\frac{1}{3}$: $$ \left(a^{\frac{7}{3}}\right)^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3}} = a^{\frac{7}{9}} $$ 3. Разделим числитель на знаменатель: $$ \frac{a^{\frac{7}{9}}}{a^{-\frac{1}{9}}} = a^{\frac{7}{9} - \left(-\frac{1}{9}\right)} = a^{\frac{7}{9} + \frac{1}{9}} = a^{\frac{8}{9}} $$ Ответ: $a^{\frac{8}{9}}$