ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-5. Вариант - 1

1. Вынесем множитель из-под знака корня: а) $5\sqrt[5]{96m^7n^{-12}}$, где $m \geqslant 0$, $n > 0$. Разложим подкоренное выражение на множители, выделив степени, кратные 5: $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$; $m^7 = m^5 \cdot m^2$; $n^{-12} = n^{-10} \cdot n^{-2} = (n^{-2})^5 \cdot n^{-2} = \dfrac{1}{(n^2)^5 \cdot n^2}$. Так как степень корня нечётная, знаки выражений сохраняются: $$\sqrt[5]{96m^7n^{-12}} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 3 \cdot m^5 \cdot m^2 \cdot (n^{-2})^5 \cdot n^{-2}} = 2mn^{-2}\sqrt[5]{3m^2n^{-2}} = \frac{2m}{n^2}\sqrt[5]{\frac{3m^2}{n^2}}$$ Умножим полученный результат на числовой коэффициент 5 перед корнем: $$5\sqrt[5]{96m^7n^{-12}} = 5 \cdot \frac{2m}{n^2}\sqrt[5]{\frac{3m^2}{n^2}} = \frac{10m}{n^2}\sqrt[5]{\frac{3m^2}{n^2}}$$ *(Примечание: если число 5 перед знаком радикала возникло в результате опечатки вместо показателя степени корня $\sqrt[5]{96m^7n^{-12}}$, ответом является $\dfrac{2m}{n^2}\sqrt[5]{\dfrac{3m^2}{n^2}}$).* б) $4\sqrt[4]{625a^4b^5}$, где $a < 0$, $b \geqslant 0$. Разложим подкоренное выражение, выделив степени, кратные 4: $625 = 5^4$; $b^5 = b^4 \cdot b$. По свойству корня чётной степени $\sqrt[2k]{x^{2k}} = |x|$. Так как $a < 0$, получаем $|a| = -a$. Так как $b \geqslant 0$, получаем $|b| = b$: $$\sqrt[4]{625a^4b^5} = \sqrt[4]{5^4 \cdot a^4 \cdot b^4 \cdot b} = 5|a|b\sqrt[4]{b} = 5 \cdot (-a) \cdot b\sqrt[4]{b} = -5ab\sqrt[4]{b}$$ Умножим полученный результат на числовой коэффициент 4 перед корнем: $$4\sqrt[4]{625a^4b^5} = 4 \cdot (-5ab\sqrt[4]{b}) = -20ab\sqrt[4]{b}$$ *(Примечание: если число 4 перед знаком радикала возникло в результате опечатки вместо показателя степени корня $\sqrt[4]{625a^4b^5}$, ответом является $-5ab\sqrt[4]{b}$).* --- 2. Внесём множитель под знак корня: $2a\sqrt[4]{3a}$, где $a > 0$. Поскольку $a > 0$, множитель перед корнем положителен: $2a > 0$. Чтобы внести положительный множитель под знак корня четвёртой степени, возведём его в четвёртую степень: $$(2a)^4 = 2^4 \cdot a^4 = 16a^4$$ Тогда: $$2a\sqrt[4]{3a} = \sqrt[4]{(2a)^4 \cdot 3a} = \sqrt[4]{16a^4 \cdot 3a} = \sqrt[4]{48a^5}$$ Ответ: $\sqrt[4]{48a^5}$. --- 3. Расположим числа $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt[4]{5}$ в порядке возрастания. Показатели корней равны 3, 2 и 4. Найдём наименьшее общее кратное показателей: $$\text{НОК}(3, 2, 4) = 12$$ Приведём все радикалы к общему показателю 12: $$\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{4}{12}} = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256}$$ $$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{6}{12}} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$$ $$\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{3}{12}} = \sqrt[12]{5^3} = \sqrt[12]{125}$$ Сравним подкоренные выражения: $$125 < 256 < 729$$ Так как функция $y = \sqrt[12]{x}$ монотонно возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, то: $$\sqrt[12]{125} < \sqrt[12]{256} < \sqrt[12]{729}$$ Следовательно: $$\sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{4} < \sqrt{3}$$ Ответ: $\sqrt[4]{5}$, $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt{3}$.