ГДЗ по алгебре 11 класс Александрова самостоятельные работы (Мордкович) Базовый уровень С-4. вариант - 4

1. Упростим выражения, учитывая, что по условию переменные принимают только положительные значения ($m > 0$, $n > 0$, $x > 0$). а) $\sqrt[5]{\frac{5m^8}{n^7}} : \sqrt[5]{\frac{160n^8}{m^{12}}}$ Воспользуемся свойством частного корней с одинаковым показателем $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ и заменим деление дробей умножением на обратную дробь: $$ \sqrt[5]{\frac{5m^8}{n^7}} : \sqrt[5]{\frac{160n^8}{m^{12}}} = \sqrt[5]{\frac{5m^8}{n^7} \cdot \frac{m^{12}}{160n^8}} $$ Перемножим числители и знаменатели подкоренного выражения: $$ \sqrt[5]{\frac{5 \cdot m^8 \cdot m^{12}}{160 \cdot n^7 \cdot n^8}} = \sqrt[5]{\frac{5m^{20}}{160n^{15}}} $$ Сократим числовой коэффициент на $5$: $$ \sqrt[5]{\frac{m^{20}}{32n^{15}}} = \frac{\sqrt[5]{m^{20}}}{\sqrt[5]{32} \cdot \sqrt[5]{n^{15}}} = \frac{m^{\frac{20}{5}}}{2 \cdot n^{\frac{15}{5}}} = \frac{m^4}{2n^3} $$ Ответ: $\frac{m^4}{2n^3}$ б) $\sqrt[3]{x^{-2}} \cdot \sqrt[4]{x^3} : \sqrt[6]{x^{25}}$ Перейдем от корней к степеням с рациональными показателями, используя свойство $\sqrt[n]{a^k} = a^{\frac{k}{n}}$ при $a > 0$: $$ \sqrt[3]{x^{-2}} = x^{-\frac{2}{3}}, \quad \sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}, \quad \sqrt[6]{x^{25}} = x^{\frac{25}{6}} $$ Применим свойства действий со степенями: $$ x^{-\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{3}{4}} : x^{\frac{25}{6}} = x^{-\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{25}{6}} $$ Приведем показатели к общему знаменателю $12$: $$ -\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{25}{6} = \frac{-2 \cdot 4 + 3 \cdot 3 - 25 \cdot 2}{12} = \frac{-8 + 9 - 50}{12} = -\frac{49}{12} $$ Запишем результат: $$ x^{-\frac{49}{12}} = \frac{1}{x^{\frac{49}{12}}} = \frac{1}{\sqrt[12]{x^{49}}} = \frac{1}{x^4\sqrt[12]{x}} $$ Ответ: $x^{-\frac{49}{12}}$ (или $\frac{1}{x^4\sqrt[12]{x}}$) --- 2. Решим уравнение: $$ \sqrt[5]{x} + 3\sqrt[10]{x} - 10 = 0 $$ Область допустимых значений: подкоренное выражение корня четной степени неотрицательно, то есть $x \ge 0$. Введем новую переменную: пусть $t = \sqrt[10]{x}$, при этом $t \ge 0$. Тогда: $$ \sqrt[5]{x} = (\sqrt[10]{x})^2 = t^2 $$ Подставим замену в исходное уравнение: $$ t^2 + 3t - 10 = 0 $$ Найдем корни квадратного уравнения: $$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2 $$ $$ t_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$ $$ t_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $$ Так как $t \ge 0$, корень $t_2 = -5$ не удовлетворяет условию замены. Вернемся к переменной $x$ для $t = 2$: $$ \sqrt[10]{x} = 2 $$ Возведем обе части уравнения в десятую степень: $$ x = 2^{10} $$ $$ x = 1024 $$ Значение $x = 1024$ удовлетворяет условию $x \ge 0$. Ответ: $1024$